Каталог по темам

Задачи

Страница: << 66 67 68 69 70 71 72 >> [Всего задач: 499]

Задача 52852

Темы:	[	Вспомогательная окружность	]
	[	Отрезок, видимый из двух точек под одним углом	]
	[	Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9

Из некоторой точки окружности, описанной около равностороннего треугольника ABC, проведены прямые, параллельные BC, CA и AB и пересекающие прямые CA, AB и BC в точках M, N и Q соответственно. Докажите, что точки M, N и Q лежат на одной прямой.

Прислать комментарий Решение

Задача 109578

Темы:	[	Правильная пирамида	]
	[	Проектирование помогает решить задачу	]
	[	Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды	]
	[	Теорема о трех перпендикулярах	]

Сложность: 5-
Классы: 10,11

Автор: Терешин Д.А.

На боковых ребрах SA , SB и SC правильной треугольной пирамиды SABC взяты соответственно точки A₁ , B₁ и C₁ так, что плоскости A₁B₁C₁ и ABC параллельны. Пусть O – центр сферы, проходящей через точки S , A , B и C₁ . Докажите, что прямая SO перпендикулярна плоскости A₁B₁C .

Прислать комментарий Решение

Задача 115448

Темы:	[	Ортоцентр и ортотреугольник	]
	[	Вписанный угол, опирающийся на диаметр	]
	[	Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды	]
	[	Вписанные четырехугольники (прочее)	]
	[	Вписанные и описанные окружности	]

Сложность: 5-
Классы: 9,10,11

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность с диаметром AD ; O — точка пересечения его диагоналей AC и BD является центром другой окружности, касающейся стороны BC . Из вершин B и С проведены касательные ко второй окружности, пересекающиеся в точке T . Докажите, что точка T лежит на отрезке AD .

Прислать комментарий

Решение

Задача 108156

Темы:	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Биссектриса делит дугу пополам	]
	[	Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды	]
	[	Угол между касательной и хордой	]
	[	Общая касательная к двум окружностям	]
	[	Свойства биссектрис, конкуррентность	]

Сложность: 5+
Классы: 8,9,10

Автор: Сонкин М.

Пусть окружность, вписанная в треугольник ABC , касается его сторон AB , BC и AC в точках K , L и M соответственно. К окружностям, вписанным в треугольники BKL , CLM и AKM проведены попарно общие внешние касательные, отличные от сторон треугольника ABC . Докажите, что эти касательные пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий Решение

Задача 64974

Темы:	[	Конкуррентность высот. Углы между высотами.	]
	[	Касающиеся окружности	]
	[	Угол между касательной и хордой	]
	[	Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды	]
	[	Вписанный угол, опирающийся на диаметр	]

Сложность: 3
Классы: 9,10,11

Автор: Кунгожин М.

Высоты AA₁ и BB₁ треугольника ABC пересекаются в точке H. Прямая CH пересекает полуокружность с диаметром AB, проходящую через точки A₁ и B₁, в точке D. Отрезки AD и BB₁ пересекаются в точке M, BD и AA₁ – в точке N. Докажите, что описанные окружности треугольников B₁DM и A₁DN касаются.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 66 67 68 69 70 71 72 >> [Всего задач: 499]