ЗАДАЧИ
problems.ru 		О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Тема: Все темы >> Геометрия >> Планиметрия >> Окружности >> Пересекающиеся окружности
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 2 задачи
Версия для печати
Убрать все задачи

``1 = - 1''. Изучив комплексные числа, Коля Васин решил вывести формулу, которая носила бы его имя. После нескольких попыток ему это удалось:

$\displaystyle \sqrt{\frac{1}{-1}}$ = $\displaystyle \sqrt{\frac{-1}{1}}$ $\displaystyle \Rightarrow$ $\displaystyle {\frac{\sqrt1}{\sqrt{-1}}}$ = $\displaystyle {\frac{\sqrt{-1}}{\sqrt1}}$ $\displaystyle \Rightarrow$ $\displaystyle \sqrt{1}$$\displaystyle \sqrt{1}$ = $\displaystyle \sqrt{-1}$$\displaystyle \sqrt{-1}$ $\displaystyle \Rightarrow$ 1 = - 1.

После некоторых размышлений, Коля придумал более короткое доказательство своего тождества:

-1 = i2 = $\displaystyle \sqrt{-1}$ . $\displaystyle \sqrt{-1}$ = $\displaystyle \sqrt{(-1)(-1)}$ = $\displaystyle \sqrt{1}$ = 1.

Не ошибся ли где-нибудь Коля Васин?

Вниз   Решение

Автор: Агаханов Н.Х.

Пусть ABCD – четырёхугольник с параллельными сторонами AD и BC; M и N – середины его сторон AB и CD соответственно. Прямая MN делит пополам отрезок, соединяющий центры окружностей, описанных около треугольников ABC и ADC. Докажите, что ABCD – параллелограмм.

Вверх   Решение

Задачи

Страница: << 21 22 23 24 25 26 27 >> [Всего задач: 149]      

  с решениями  

Задача 108110

Темы:   [ Угол между касательной и хордой ]
[ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]
[ Пересекающиеся окружности ]
[ Признаки и свойства касательной ]
[ Сумма углов треугольника. Теорема о внешнем угле. ]
Сложность: 3+
Классы: 7,8,9

Автор: Сонкин М.

Окружность S с центром O и окружность S' пересекаются в точках A и B. На дуге окружности S, лежащей внутри S', взята точка C. Точки пересечения прямых AC и BC с S', отличные от A и B, обозначим через E и D соответственно. Докажите, что прямые DE и OC перпендикулярны.

Прислать комментарий     Решение

Задача 108209

Темы:   [ Признаки и свойства параллелограмма ]
[ Три прямые, пересекающиеся в одной точке ]
[ Пересекающиеся окружности ]
[ Ромбы. Признаки и свойства ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9

Автор: Агаханов Н.Х.

Пусть ABCD – четырёхугольник с параллельными сторонами AD и BC; M и N – середины его сторон AB и CD соответственно. Прямая MN делит пополам отрезок, соединяющий центры окружностей, описанных около треугольников ABC и ADC. Докажите, что ABCD – параллелограмм.

Прислать комментарий     Решение

Задача 108235

Темы:   [ Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие ]
[ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]
[ Пересекающиеся окружности ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9

Автор: Сонкин М.

В равнобедренном треугольнике ABC  (AB = BC)  на стороне AB выбрана точка D, и вокруг треугольников ADC и BDC описаны окружности S1 и S2 соответственно. Касательная, проведённая к S1 в точке D, пересекает второй раз окружность S2 в точке M. Докажите, что  BM || AC.

Прислать комментарий     Решение

Задача 108516

Темы:   [ Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках ]
[ Прямоугольный треугольник с углом в $30^\circ$ ]
[ Пересекающиеся окружности ]
[ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9

В треугольнике ABC угол B прямой, точка M лежит на стороне AC, причём  AM : MC = 1 : 3, ∠ABM = π/6,  BM = 6.
Найдите угол BAC и расстояние между центрами описанных окружностей треугольников BCM и BAM.

Прислать комментарий     Решение

Задача 108517

Темы:   [ Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках ]
[ Прямоугольный треугольник с углом в $30^\circ$ ]
[ Пересекающиеся окружности ]
[ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9

В треугольнике ABC угол B прямой, точка M лежит на стороне AC, причём  AM : MC = : 4.  Величина угла ABM равна  π/3,  BM = 8.
Найдите величину угла BAC и расстояние между центрами описанных окружностей треугольников BCM и BAM.

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 21 22 23 24 25 26 27 >> [Всего задач: 149]      

  с решениями  

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам