Страница:
<< 23 24 25 26
27 28 29 >> [Всего задач: 149]
|
|
Сложность: 4 Классы: 8,9,10
|
Четырёхугольник ABCD вписан в окружность ω с центром O, M1 и M2 – середины сторон AB и CD соответственно; Ω – описанная окружность треугольника OM1M2, X1 и X2 – точки пересечения ω с Ω, а Y1 и Y2 – вторые точки пересечения описанных окружностей ω1 и ω2 треугольников CDM1 и ABM2 соответственно с Ω. Докажите, что X1X2 || Y1Y2.
Окружности
S1
и
S2
пересекаются в точках
A и
B . На окружности
S1
взята точка
Q .
Прямые
QA и
QB пересекают окружность
S2
в точках
C и
D . Касательные к окружности
S1
в точках
A и
B пересекаются в точке
P . Точка
Q расположена вне окружности
S2
, точки
C
и
D — вне
S1
. Докажите, что прямая
QP
проходит через середину отрезка
CD .
|
|
Сложность: 4 Классы: 10,11
|
Точки A1, B1, C1 выбраны на сторонах BC, CA и AB треугольника ABC соответственно. Оказалось, что AB1 – AC1 = CA1 – CB1 = BC1 – BA1. Пусть OA, OB и OC – центры описанных окружностей треугольников AB1C1, A1BC1 и A1B1C. Докажите, что центр вписанной окружности треугольника OAOBOC совпадает с центром вписанной окружности треугольника ABC.
|
|
Сложность: 4+ Классы: 10,11
|
Четырёхугольник ABCD описан около окружности с центром I и вписан в окружность Ω. Прямые AB и CD пересекаются в точке P, а прямые BC и AD пересекаются в точке Q. Докажите, что описанная окружность ω треугольника PIQ перпендикулярна Ω.
|
|
Сложность: 4+ Классы: 9,10,11
|
Фигура Ф представляет собой пересечение n кругов (n ≥ 2, радиусы не обязательно одинаковы). Какое максимальное число криволинейных "сторон" может иметь фигура Ф? (Криволинейная сторона – это участок границы Ф, принадлежащий одной из окружностей и ограниченный точками пересечения с другими окружностями.)
Страница:
<< 23 24 25 26
27 28 29 >> [Всего задач: 149]