Версия для печати
Убрать все задачи

---

Найдите сумму всех правильных несократимых дробей со знаменателем n.

   Решение

---

В игре "Что? Где? Когда?" разыгрываются 13 конвертов с вопросами от телезрителей. Конверты выбираются по очереди в случайном порядке с помощью волчка. Если знатоки отвечают верно, зарабатывают очко, если неверно – одно очко достается телезрителям. Игра оканчивается, как только одна из команд набрала 6 очков. Предположим, что силы команд Знатоков и Телезрителей равны.
  а) Найдите математическое ожидание числа очков, набранных командой Знатоков за 100 игр.
  б) Найдите вероятность того, что в следующей игре конверт №5 будет разыгран.

   Решение

---

Через точку O пересечения биссектрис треугольника ABC проведены прямые, параллельные его сторонам. Прямая, параллельная AB, пересекает AC и BC в точках M и N, а прямые, параллельные AC и BC, пересекают AB в точках P и Q. Докажите, что  MN = AM + BN  и периметр треугольника OPQ равен длине отрезка AB.

   Решение

---

В треугольнике ABC угол при вершине A равен 60°. Внутри треугольника взята такая точка O, что  ∠AOB = ∠AOC = 120°.  Точки D и E – середины сторон AB и AC. Докажите, что четырёхугольник ADOE – вписанный.

   Решение

Страница: << 5 6 7 8 9 10 11 >> [Всего задач: 52]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 97839

Темы:   [ Свойства биссектрис, конкуррентность ] [ Равные треугольники. Признаки равенства (прочее) ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ] [ Треугольники с углами $60^\circ$ и $120^\circ$ ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Биссектрисы BD и CE треугольника ABC пересекаются в точке O.
Докажите, что если  OD = OE,  то либо треугольник равнобедренный, либо его угол при вершине A равен 60°.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 108652

Темы:   [ Вспомогательные подобные треугольники ] [ Точка Торричелли ] [ Вписанные четырехугольники (прочее) ] [ Треугольники с углами $60^\circ$ и $120^\circ$ ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

В треугольнике ABC угол при вершине A равен 60°. Внутри треугольника взята такая точка O, что  ∠AOB = ∠AOC = 120°.  Точки D и E – середины сторон AB и AC. Докажите, что четырёхугольник ADOE – вписанный.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 53393

Темы:   [ Углы между биссектрисами ] [ Сумма углов треугольника. Теорема о внешнем угле. ] [ Свойства биссектрис, конкуррентность ] [ Треугольники с углами $60^\circ$ и $120^\circ$ ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

В треугольнике ABC с углом A, равным 120°, биссектрисы AA₁, BB₁ и CC₁ пересекаются в точке O. Докажите, что  ∠A₁C₁O = 30°.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 108882

Темы:   [ Вспомогательные подобные треугольники ] [ Замечательное свойство трапеции ] [ Точка Торричелли ] [ Треугольники с углами $60^\circ$ и $120^\circ$ ] [ Серединный перпендикуляр к отрезку (ГМТ) ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

В треугольнике ABC  ∠A = 60°.  Внутри треугольника нашлась точка O, из которой все стороны видны под углом 120°. На луче CO выбрана такая точка D, что треугольник AOD – равносторонний. Серединный перпендикуляр к отрезку AO пересекает прямую BC в точке Q. Докажите, что прямая OQ делит отрезок BD пополам.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 53360

Темы:   [ Медиана, проведенная к гипотенузе ] [ Сумма углов треугольника. Теорема о внешнем угле. ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ] [ Вписанный угол равен половине центрального ] [ Треугольники с углами $60^\circ$ и $120^\circ$ ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

В треугольнике ABC известны углы:  ∠A = 45°,  ∠B = 15°. На продолжении стороны AC за точку C взята точка M, причём  CM = 2AC.  Найдите  ∠AMB.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 5 6 7 8 9 10 11 >> [Всего задач: 52]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями