Каталог по темам

Задачи

Страница: << 5 6 7 8 9 10 11 >> [Всего задач: 51]

Задача 108652

Темы:	[	Вспомогательные подобные треугольники	]
	[	Точка Торричелли	]
	[	Вписанные четырехугольники (прочее)	]
	[	Треугольники с углами $60^\circ$ и $120^\circ$	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

В треугольнике ABC угол при вершине A равен 60°. Внутри треугольника взята такая точка O, что ∠AOB = ∠AOC = 120°. Точки D и E – середины сторон AB и AC. Докажите, что четырёхугольник ADOE – вписанный.

Прислать комментарий

Решение

Задача 53393

Темы:	[	Углы между биссектрисами	]
	[	Сумма углов треугольника. Теорема о внешнем угле.	]
	[	Свойства биссектрис, конкуррентность	]
	[	Треугольники с углами $60^\circ$ и $120^\circ$	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9

В треугольнике ABC с углом A, равным 120°, биссектрисы AA₁, BB₁ и CC₁ пересекаются в точке O. Докажите, что ∠A₁C₁O = 30°.

Прислать комментарий

Решение

Задача 108882

Темы:	[	Вспомогательные подобные треугольники	]
	[	Замечательное свойство трапеции	]
	[	Точка Торричелли	]
	[	Треугольники с углами $60^\circ$ и $120^\circ$	]
	[	Серединный перпендикуляр к отрезку (ГМТ)	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9

В треугольнике ABC ∠A = 60°. Внутри треугольника нашлась точка O, из которой все стороны видны под углом 120°. На луче CO выбрана такая точка D, что треугольник AOD – равносторонний. Серединный перпендикуляр к отрезку AO пересекает прямую BC в точке Q. Докажите, что прямая OQ делит отрезок BD пополам.

Прислать комментарий

Решение

Задача 53360

Темы:	[	Медиана, проведенная к гипотенузе	]
	[	Сумма углов треугольника. Теорема о внешнем угле.	]
	[	Признаки и свойства равнобедренного треугольника.	]
	[	Вписанный угол равен половине центрального	]
	[	Треугольники с углами $60^\circ$ и $120^\circ$	]

Сложность: 4
Классы: 8,9

В треугольнике ABC известны углы: ∠A = 45°, ∠B = 15°. На продолжении стороны AC за точку C взята точка M, причём CM = 2AC. Найдите ∠AMB.

Прислать комментарий

Решение

Задача 66224

Темы:	[	Шестиугольники	]
	[	Вписанные и описанные многоугольники	]
	[	Примеры и контрпримеры. Конструкции	]
	[	Векторы помогают решить задачу	]
	[	Треугольники с углами $60^\circ$ и $120^\circ$	]
	[	Против большей стороны лежит больший угол	]

Сложность: 4
Классы: 9,10

Автор: Белухов Н.

Выпуклый шестиугольник A₁A₂...A₆ описан около окружности ω радиуса 1. Рассмотрим три отрезка, соединяющие середины противоположных сторон шестиугольника. Для какого наибольшего r можно утверждать, что хотя бы один из этих отрезков не короче r?

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 5 6 7 8 9 10 11 >> [Всего задач: 51]