Версия для печати
Убрать все задачи

---

Пять отрезков таковы, что из любых трех из них можно составить треугольник. Докажите, что хотя бы один из этих треугольников остроугольный.

   Решение

---

В остроугольном неравностороннем треугольнике через одну вершину проведена высота, через другую – медиана, через третью биссектриса.
Докажите, что если проведённые линии, пересекаясь, образуют треугольник, то он не может быть равносторонним.

   Решение

---

Через точку O пересечения биссектрис треугольника ABC проведены прямые, параллельные его сторонам. Прямая, параллельная AB, пересекает AC и BC в точках M и N, а прямые, параллельные AC и BC, пересекают AB в точках P и Q. Докажите, что  MN = AM + BN  и периметр треугольника OPQ равен длине отрезка AB.

   Решение

---

Доказать, что для любого целого n число     можно представить в виде разности     где k – целое.

   Решение

Страница: << 8 9 10 11 12 13 14 >> [Всего задач: 81]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 116682

Темы:   [ Исследование квадратного трехчлена ] [ Целочисленные и целозначные многочлены ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

Назовем приведённый квадратный трёхчлен с целыми коэффициентами сносным, если его корни – целые числа, а коэффициенты не превосходят по модулю 2013. Вася сложил все сносные квадратные трёхчлены. Докажите, что у него получился трёхчлен, не имеющий действительных корней.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65882

Темы:   [ Теория игр (прочее) ] [ Целочисленные и целозначные многочлены ] [ Оценка + пример ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

Петя и Вася играют в такую игру. Сначала Петя задумывает некоторый многочлен P(x) с целыми коэффициентами. Далее делается несколько ходов. За ход Вася платит Пете рубль и называет любое целое число a по своему выбору, которое он ещё не называл, а Петя в ответ говорит, сколько решений в целых числах имеет уравнение  P(x) = a.  Вася выигрывает, как только Петя два раза (не обязательно подряд) назвал одно и то же число. Какого наименьшего числа рублей хватит Васе, чтобы гарантированно выиграть?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 97973

Темы:   [ Свойства коэффициентов многочлена ] [ Целочисленные и целозначные многочлены ] [ Двоичная система счисления ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

P(х) – многочлен с целыми коэффициентами. Известно, что числа 1 и 2 являются его корнями. Докажите, что найдётся коэффициент, который меньше –1.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 107816

Темы:   [ Многочлены Чебышева ] [ Целочисленные и целозначные многочлены ] [ Тождественные преобразования ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

Найдите какой-нибудь многочлен с целыми коэффициентами, корнем которого является число   + .

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109157

Темы:   [ Доказательство тождеств. Преобразования выражений ] [ Целочисленные и целозначные многочлены ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

Доказать, что для любого целого n число     можно представить в виде разности     где k – целое.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 8 9 10 11 12 13 14 >> [Всего задач: 81]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями