Версия для печати
Убрать все задачи

---

На доске написано n выражений вида  *x² + *x + * = 0  (n – нечетное число). Двое играют в такую игру. Ходят по очереди. За ход разрешается заменить одну из звёздочек числом, не равным нулю. Через 3n ходов получится n квадратных уравнений. Первый игрок стремится к тому, чтобы как можно большее число этих уравнений не имело корней, а второй хочет ему помешать. Какое наибольшее число уравнений, не имеющих корней, может получить первый игрок независимо от игры второго?

   Решение

---

Замок имеет вид прямоугольника размером 7×9 клеток. Каждая клетка, кроме центральной – комната замка, а в центральной клетке находится бассейн. В каждой стене (стороне клетки), разделяющей две соседние комнаты, проделана дверь. Можно ли, не выходя из замка и не заходя в бассейн, обойти все комнаты, побывав в каждой ровно по одному разу?

   Решение

---

Докажите, что можно выбрать такие различные действительные числа  a₁, a₂, ..., a₁₀,  что уравнение
(x – a₁)(x – a₂)...(x – a₁₀) = (x + a₁)(x + a₂)...(x + a₁₀)  будет иметь ровно пять различных действительных корней.

   Решение

Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 67]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 67436

Темы:   [ Многочлены (прочее) ] [ Разложение на множители ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10,11

Дано натуральное число $n$. Можно ли представить многочлен $x(x-1)\dots(x-n)$ в виде суммы двух кубов многочленов с действительными коэффициентами?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 98268

Темы:   [ Многочлены (прочее) ] [ Суммы числовых последовательностей и ряды разностей ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ] [ Итерации ] [ Симметрия помогает решить задачу ]

Сложность: 4 Классы: 9,10

а) Разбейте отрезок  [0, 1]  на чёрные и белые отрезки так, чтобы для любого многочлена p(x) степени не выше второй сумма приращений p(x) по всем чёрным отрезкам равнялась сумме приращений p(x) по всем белым интервалам.
(Приращением многочлена p по отрезку  (a, b)  называется число  p(b) – p(a).)

б) Удастся ли проделать аналогичную операцию для всех многочленов степени не выше 1995?

 

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 110024

Темы:   [ Многочлены (прочее) ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

Докажите, что можно выбрать такие различные действительные числа  a₁, a₂, ..., a₁₀,  что уравнение
(x – a₁)(x – a₂)...(x – a₁₀) = (x + a₁)(x + a₂)...(x + a₁₀)  будет иметь ровно пять различных действительных корней.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65692

Темы:   [ Многочлены (прочее) ] [ Индукция (прочее) ] [ Доказательство от противного ]

Сложность: 4+ Классы: 10,11

Про приведённый многочлен  P(x) = xⁿ + a_n–1x^n–1 + ... + a₁x + a₀  с действительными коэффициентами известно, что при некотором натуральном
m ≥ 2  многочлен    имеет действительные корни, причём только положительные. Обязательно ли сам многочлен P(x) имеет действительные корни, причём только положительные?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 60985  [Правило знаков Декарта]

Темы:   [ Многочлены (прочее) ] [ Свойства коэффициентов многочлена ] [ Индукция (прочее) ]

Сложность: 5- Классы: 9,10,11

Докажите, что количество положительных корней многочлена  f(x) = a_nxⁿ + ... + a₁x + a₀  не превосходит числа перемен знака в последовательности  a_n, ..., a₁, a₀.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 67]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями