Страница:
<< 7 8 9 10
11 12 13 >> [Всего задач: 67]
|
|
|
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10
|
При каких целых значениях m число Р = 1 + 2m + 3m2 + 4m3 + 5m4 + 4m5 + 3m6 + 2m7 + m8 является квадратом целого числа?
|
|
|
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10
|
а) Числа a, b, c являются тремя из четырёх корней многочлена x4 – ax3 – bx + c. Найдите все такие многочлены.
б) Числа a, b, c являются корнями многочлена x4 – ax3 – bx + c. Найдите все такие многочлены.
|
|
|
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10,11
|
Надя загадала многочлен $P(x)$ с вещественными коэффициентами. За один ход Максим может назвать любой многочлен $Q(x)$ с вещественными коэффициентами, а в ответ Надя должна сообщить Максиму следующие два факта:
- достигается ли максимальное значение $P+Q$, и если да, то чему оно равно;
- достигается ли минимальное значение $P+Q$, и если да, то чему оно равно.
Максим хочет последовательно сделать несколько таких ходов, а затем назвать такое вещественное число $t$, что $|P(2026)-t| < 10^{-100}$. Докажите, что Максим может действовать так, чтобы гарантированно добиться желаемого.
(Максим сам решает, когда ему перестать задавать вопросы.)
|
|
|
Сложность: 4-
Классы: 9,10,11
|
Дан многочлен P(x) степени 2003 с действительными
коэффициентами, причем старший коэффициент равен 1. Имеется бесконечная
последовательность целых чисел a1, a2, ..., такая, что P(a1) = 0,
P(a2) = a1, P(a3) = a2 и т. д. Докажите, что не все
числа в последовательности a1, a2, ... различны.
|
[Китайская теорема об остатках для многочленов]
|
|
Сложность: 4
Классы: 9,10,11
|
Пусть m1(x), ..., mn(x) – попарно взаимно простые многочлены, a1(x), ..., an(x) – произвольные многочлены.
Докажите, что существует ровно один такой многочлен p(x), что
p(x) ≡ a1(x) (mod m1(x)),
...
p(x) ≡ an(x) (mod mn(x))
и deg p(x) < deg m1(x) + ... + deg mn(x).
Страница:
<< 7 8 9 10
11 12 13 >> [Всего задач: 67]
Фильтр
