Версия для печати
Убрать все задачи

---

Докажите, что если $а > b > с$, то $$a^2 (b-с) + b^2 (с-a) + с^2 (a-b) > 0.$$

   Решение

---

В равностороннем треугольнике ABC на стороне AB взята точка D так, что  AD = ^AB/_n.
Докажите,что сумма  n – 1  углов, под которыми виден отрезок AD из точек, делящих сторону BC на n равных частей, равна 30°:
  а) при  n = 3;
  б) при произвольном n.

   Решение

---

Дракон заточил в темницу рыцаря и выдал ему 100 разных монет, половина из которых волшебные (какие именно – знает только дракон). Каждый день рыцарь раскладывает все монеты на две кучки (не обязательно равные). Если в кучках окажется поровну волшебных монет или поровну обычных, дракон отпустит рыцаря. Сможет ли рыцарь гарантированно освободиться не позже, чем
  а) на 50-й день?
  б) на 25-й день?

   Решение

---

Пусть τ(n) – количество положительных делителей натурального числа  n = ,  а σ(n)  – их сумма. Докажите равенства:
  а)  τ(n) = (α₁ + 1)...(α_s + 1);   б)  σ(n) = ·...·.

   Решение

---

Высота и радиус основания цилиндра равны 1. Каким наименьшим числом шаров радиуса 1 можно целиком покрыть этот цилиндр?

   Решение

Страница: << 8 9 10 11 12 13 14 >> [Всего задач: 74]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 110025

Темы:   [ Цилиндр ] [ Покрытия ] [ Шар и его части ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Высота и радиус основания цилиндра равны 1. Каким наименьшим числом шаров радиуса 1 можно целиком покрыть этот цилиндр?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 78497

Темы:   [ Задачи на движение ] [ Покрытия ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9,10

По аллее длиной 100 метров идут три человека со скоростями 1, 2 и 3 км/ч. Дойдя до конца аллеи, каждый из них поворачивает и идёт назад с той же скоростью. Доказать, что найдётся отрезок времени в 1 минуту, когда все трое будут идти в одном направлении.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109572

Темы:   [ Геометрия на клетчатой бумаге ] [ Покрытия ] [ Индукция в геометрии ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9,10

Плоскость разбита двумя семействами параллельных прямых на единичные квадратики. Назовем каемкой квадрата n ×n, состоящего из квадратиков разбиения, объединение тех квадратиков, которые хотя бы одной из своих сторон примыкают изнутри к его границе. Докажите, что существует ровно один способ покрытия квадрата 100×100 , состоящего из квадратиков разбиения, неперекрывающимися каемками пятидесяти квадратов. (Каемки могут и не содержаться в квадрате 100× 100 .)

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 73652

Темы:   [ Задачи на движение ] [ Покрытия ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ] [ Линейные неравенства и системы неравенств ]

Сложность: 5 Классы: 9,10,11

Несколько человек в течение t минут наблюдали за улиткой. Каждый наблюдал за ней ровно 1 минуту и заметил, что за эту минуту улитка проползла ровно 1 метр. Ни в один момент времени улитка не оставалась без наблюдения. Какой наименьший и какой наибольший путь могла она проползти за эти t минут?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 78201

Темы:   [ Площадь круга, сектора и сегмента ] [ Покрытия ]

Сложность: 5 Классы: 10,11

Даны несколько перекрывающихся кругов, занимающие на плоскости площадь, равную 1. Доказать, что из них можно выбрать некоторое количество попарно неперекрывающихся, чтобы их общая площадь была не менее .

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 8 9 10 11 12 13 14 >> [Всего задач: 74]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями