Версия для печати
Убрать все задачи

---

Бильярдный стол имеет форму многоугольника (не обязательно выпуклого), у которого соседние стороны перпендикулярны друг другу. Вершины этого многоугольника – лузы, при попадании в которые шар там и остаётся. Из вершины A с (внутренним) углом 90° выпущен шар, который отражается от бортов (сторон многоугольника) по закону "угол падения равен углу отражения". Докажите, что он никогда не вернётся в вершину A.

   Решение

---

Сторона основания ABC пирамиды TABC равна 4, боковое ребро TA перпендикулярно плоскости основания. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через середины рёбер AC и BT параллельно медиане BD грани BCT , если известно, что расстояние от вершины T до этой плоскости равно .

   Решение

---

В какое наибольшее число цветов можно раскрасить все клетки доски размера 10×10 так, чтобы в каждой строке и в каждом столбце находились клетки не более чем пяти различных цветов?

   Решение

Страница: << 233 234 235 236 237 238 239 >> [Всего задач: 1371]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 110098

Темы:   [ Процессы и операции ] [ Системы точек ] [ НОД и НОК. Взаимная простота ] [ Делимость чисел. Общие свойства ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9,10

На отрезке  [0, 2002]  отмечены его концы и  n – 1 > 0  целых точек так, что длины отрезков, на которые разбился отрезок  [0, 2002],  взаимно просты в совокупности. Разрешается разделить любой отрезок с отмеченными концами на n равных частей и отметить точки деления, если они все целые. (Точку можно отметить второй раз, при этом она остаётся отмеченной.) Можно ли, повторив несколько раз эту операцию, отметить все целые точки на отрезке?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 110099

Темы:   [ Таблицы и турниры (прочее) ] [ Раскраски ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9,10

В какое наибольшее число цветов можно раскрасить все клетки доски размера 10×10 так, чтобы в каждой строке и в каждом столбце находились клетки не более чем пяти различных цветов?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 116906

Темы:   [ Правильные многоугольники ] [ Разрезания на части, обладающие специальными свойствами ] [ Сумма внутренних и внешних углов многоугольника ] [ Доказательство от противного ] [ Четность и нечетность ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9,10

При каких  n > 3  правильный n-угольник можно разрезать диагоналями (возможно, пересекающимися внутри него) на равные треугольники?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109748

Темы:   [ Принцип Дирихле (конечное число точек, прямых и т. д.) ] [ Раскраски ] [ Выпуклые многоугольники ] [ Многоугольники (прочее) ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9,10

Дан выпуклый 2000-угольник, никакие три диагонали которого не пересекаются в одной точке. Каждая из его диагоналей покрашена в один из 999 цветов. Докажите, что существует треугольник, все стороны которого целиком лежат на диагоналях одного цвета. (Вершины треугольника не обязательно должны оказаться вершинами исходного многоугольника.)

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 57986

Темы:   [ Гомотетичные многоугольники ] [ Основные свойства центра масс ]

Сложность: 4+ Классы: 9,10,11

Пусть M — центр масс n-угольника A₁...A_n; M₁,..., M_n — центры масс (n - 1)-угольников, полученных из этого n-угольника выбрасыванием вершин A₁,..., A_n соответственно. Докажите, что многоугольники A₁...A_n и  M₁...M_n гомотетичны.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 233 234 235 236 237 238 239 >> [Всего задач: 1371]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями