Докажите, что диаметр окружности, перпендикулярный хорде, делит эту хорду пополам.

   Решение

Докажите, что биссектриса треугольника делит его сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам.

   Решение

На плоскости даны точки A и B . Доказать, что множество всех точек M , удалённых от A в 3 раза больше, чем от B , есть окружность.

   Решение

При каких натуральных a существуют такие натуральные числа x и y, что (x + y)² + 3x + y = 2a?

   Решение

Какое максимальное число дамок можно поставить на чёрных полях шахматной доски размером 8×8 так, чтобы каждую дамку била хотя бы одна из остальных?

   Решение

Угол между радиусами OA и OB окружности равен 60°. Найдите хорду AB, если радиус окружности равен R.

   Решение

Последовательные натуральные числа 2 и 3 делятся на последовательные нечётные числа 1 и 3 соответственно; числа 8, 9 и 10 – делятся на 1, 3 и 5 соответственно. Найдутся ли 11 последовательных натуральных чисел, которые делятся на 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19 и 21 соответственно?

   Решение

а) Докажите, что положительный корень квадратного уравнения  bx² – abx – a = 0,  где a и b – различные натуральные числа, разлагается в чисто периодическую цепную дробь с длиной периода, равной 2.
б) Верно ли обратное утверждение?

   Решение

Докажите, что если     то ^p/_q – подходящая дробь к числу α.

   Решение

На плоскости даны 16 точек (см. рисунок).

  а) Покажите, что можно стереть не более восьми из них так, что из оставшихся никакие четыре не будут лежать в вершинах квадрата.
  б) Покажите, что можно обойтись стиранием шести точек.
  в) Найдите минимальное число точек, которые достаточно стереть для этого.

   Решение

Прямая, проведённая через вершину ромба вне его, отсекает на продолжении двух сторон отрезки p и q. Найдите сторону ромба.

   Решение

Боковая сторона AB трапеции ABCD разделена на пять равных частей, и через третью точку деления, считая от точки B, проведена прямая, параллельная основаниям BC и AD. Найдите отрезок этой прямой, заключённый между сторонами трапеции, если  BC = a  и  AD = b.

   Решение

Существует ли тетраэдр, у которого пары противоположных рёбер равны 12 и 12, 5 и 5, 13 и 13?

   Решение

Радиус сектора равен r, а хорда его дуги равна a. Найдите радиус окружности, вписанной в этот сектор.

   Решение

Дана правильная треугольная пирамида SABC . Точка S – вершина пирамиды, SA = 2 , BC = 3 , BM – медиана основания пирамиды, AR – высота треугольника ASB . Найдите длину отрезка MR .

   Решение

Страница: << 36 37 38 39 40 41 42 >> [Всего задач: 449]      

Дана правильная треугольная пирамида SABC . Точка S – вершина пирамиды, SA = 2 , BC = 3 , BM – медиана основания пирамиды, AR – высота треугольника ASB . Найдите длину отрезка MR .

Прислать комментарий

Решение

Из точки M на плоскость α опущен перпендикуляр MH длины и проведены две наклонные, составляющие с перпендикуляром углы по 60^o . Угол между наклонными равен 120^o . а) Найдите расстояние между основаниями A и B наклонных. б) На отрезке AB как на катете в плоскости α построен прямоугольный треугольник ABC (угол A – прямой). Найдите объём пирамиды MABC , зная, что cos BMC = - .

Прислать комментарий

Решение

Из точки M на плоскость α опущен перпендикуляр MH длины 3 и проведены две наклонные, составляющие с перпендикуляром углы по 30^o . Угол между наклонными равен 60^o . а) Найдите расстояние между основаниями A и B наклонных. б) На отрезке AB как на катете в плоскости α построен прямоугольный треугольник ABC (угол A – прямой). Найдите объём пирамиды MABC , зная, что cos BCM = .

Прислать комментарий

Решение

Три сферы, радиусы которых равны , 1 и 1, попарно касаются друг друга. Через прямую, содержащую центры A и B второй и третьей сфер, проведена плоскость γ так, что центр O первой сферы удалён от этой плоскости на расстояние 1. Найдите угол между проекциями прямых OA и OB на плоскость γ и сравните его с arccos .

Прислать комментарий

Решение

Три сферы, радиусы которых равны , 3 и 3, попарно касаются друг друга. Через центр P первой сферы проведена плоскость β так, что прямая, содержащая центры C и D второй и третьей сфер параллельна β и удалена от этой плоскости на расстояние 1. Найдите угол между проекциями прямых PC и PD на плоскость β и сравните его с arccos .

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 36 37 38 39 40 41 42 >> [Всего задач: 449]