ЗАДАЧИ
problems.ru |
О проекте
|
Об авторах
|
Справочник
Каталог по темам | по источникам | |
|
Подтемы:
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Версия для печати
Убрать все задачи
В трапеции ABCD диагональ AC равна сумме оснований
AB и CD . Точка M – середина стороны BC . Точка
B' симметрична точке B относительно прямой AM .
Докажите, что
Внутри неравнобедренного треугольника ABC взята
такая точка O , что
Ханойская башня и двоичная
система счисления.
Рассмотрим два
процесса, каждый из которых состоит из 28 - 1 шагов. Первый —
это процесс решения головоломки ``Ханойская башня'' (смотри задачу
1.42) при
помощи оптимального алгоритма. Второй — это процесс прибавления
единицы, который начинается с 0 и заканчивается числом 28 - 1.
Опишите связь между этими двумя процессами.
В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁, ребро которого равно 4, точки E и F ─ середины рёбер AB и B₁C₁ соответственно, а точки P расположена на ребре CD так, что CD = 3PD. Найдите Пусть O — центр масс системы точек, суммарная
масса которой равна m. Докажите, что моменты инерции
этой системы относительно точки O и произвольной точки X
связаны соотношением
IX = IO + mXO2.
Числа m и n называются дружественными, если сумма собственных делителей числа m равна n и, наоборот, сумма собственных делителей числа n равна m. Другими словами, числа m и n являются дружественными, если σ(m) – m = n и σ(n) – n = m. Пусть (m, n) > 1. Что больше τ(mn) или τ(m)τ(n)? Исследуйте тот же вопрос для функции σ(n). Оля и Максим оплатили путешествие по архипелагу из 2009 островов, где некоторые острова связаны двусторонними маршрутами катера. Они путешествуют, играя. Сначала Оля выбирает остров, на который они прилетают. Затем они путешествуют вместе на катерах, по очереди выбирая остров, на котором еще не были (первый раз выбирает Максим). Кто не сможет выбрать остров, проиграл. Докажите, что Оля может выиграть. На прямой AB взяты точки P и P1, а на прямой AC взяты точки Q и Q1. Прямая, соединяющая точку A с точкой пересечения прямых PQ и P1Q1, пересекает прямую BC в точке D. Докажите, что В остроугольный треугольник ABC помещены две касающиеся окружности. Одна из них касается сторон AC и BC , а вторая — сторон AB и BC . Докажите, что сумма их радиусов больше радиуса окружности, вписанной в треугольник ABC . Сторона основания правильной четырёхугольной пирамиды SABCD ( S – вершина) равна 4. Точки E и F расположены на рёбрах CB и AD соответственно, причём CE=3 , AF=2 . Известно, что для данной пирамиды существует единственный конус, вершина которого совпадает с точкой F , центр основания лежит на прямой SD , а отрезок EF является одной из образующих. Найдите объём этого конуса. |
Страница: << 127 128 129 130 131 132 133 >> [Всего задач: 696]
Сфера касается боковых граней четырёхугольной пирамиды
SABCD в точках, лежащих на рёбрах AB , BC , CD , DA .
Известно, что высота пирамиды равна
Сфера касается боковых граней четырёхугольной пирамиды
SABCD в точках, лежащих на рёбрах AB , BC , CD , DA .
Известно, что высота пирамиды равна
Сфера касается боковых граней четырёхугольной пирамиды
SABCD в точках, лежащих на рёбрах AB , BC , CD , DA .
Известно, что высота пирамиды равна 2
Сторона основания правильной четырёхугольной пирамиды SABCD ( S – вершина) равна 10. Точки E и F расположены на рёбрах DC и BC соответственно, причём CE=6 , CF=9 . Известно, что для данной пирамиды существует единственный конус, вершина которого совпадает с точкой E , центр основания лежит на прямой SA , а отрезок EF является одной из образующих. Найдите объём этого конуса.
Сторона основания правильной треугольной пирамиды SABC ( S – вершина) равна 8. Точки K и L расположены на рёбрах AB и AC соответственно, причём AK=7 , AL=4 . Известно, что для данной пирамиды существует единственный конус, вершина которого совпадает с точкой K , центр основания лежит на прямой SC , а отрезок KL является одной из образующих. Найдите объём этого конуса.
Страница: << 127 128 129 130 131 132 133 >> [Всего задач: 696]
|
© 2004-...
МЦНМО
(о копирайте)
|
Пишите нам
|
![]() |
Проект осуществляется при поддержке