В королевстве восемь городов. Король хочет построить такую систему дорог, чтобы из каждого города можно было попасть в любой другой, минуя не более одного промежуточного города, и чтобы из каждого города выходило не более k дорог. При каких k это возможно?

   Решение

Докажите равенство  

   Решение

Окружности S1 и S2 касаются внешним образом в точке F . Их общая касательная l касается S1 и S2 в точках A и B соответственно. Прямая, параллельная AB , касается окружности S2 в точке C и пересекает S1 в точках D и E . Докажите, что общая хорда окружностей, описанных около треугольников ABC и BDE , проходит через точку F .

   Решение

Можно ли таблицу 5×5 заполнить числами так, чтобы сумма чисел в каждой строке была положительной, а сумма чисел в каждом столбце – отрицательной?

   Решение

Точка D – середина бокового ребра CC1 треугольной призмы ABCA1B1C1 . Прямые AB1 , BC и DA1 попарно перпендикулярны. Найдите высоту призмы, если AB = BC= AB1 =a .

   Решение

Докажите, что  n³ – n  делится на 24 при любом нечётном n.

   Решение

Сфера, касающаяся верхнего основания цилиндра, имеет единственную общую точку с окружностью его нижнего основания и делит ось цилиндра в отношении 2:6:1, считая от центра одного из оснований. Найдите объём цилиндра, если известно, что сфера касается двух его образующих, находящихся на расстоянии друг от друга.

   Решение

Простые числа имеют только два различных делителя – единицу и само это число. А какие числа имеют только три различных делителя?

   Решение

Последовательность многочленов  P₀(x) = 1,  P₁(x) = x,  P₂(x) = x² – 1, ...  задается условием  P_n+1(x) = xP_n(x) – P_n–1(x).
Докажите, что уравнение  P₁₀₀(x) = 0  имеет 100 различных действительных корней на отрезке  [–2, 2].  Что это за корни?

   Решение

В пространстве проведены две параллельные прямые и пересекающие эти прямые две параллельные плоскости. Докажите, что четыре точки пересечения прямых и плоскостей служат вершинами параллелограмма.

   Решение

На стороне CD параллелограмма ABCD с тупым углом при вершине D построен равносторонний треугольник CDE так, что точки A и E лежат по разные стороны прямой CD . Известно, что расстояния от точек D и E до прямой BC равны соответственно 3 и 8, а расстояние от точки E до прямой AB равно 13. Найдите площадь параллелограмма ABCD .

   Решение

Страница: << 39 40 41 42 43 44 45 >> [Всего задач: 312]      

Внутри параллелограмма ABCD взята точка K так, что треугольник CKD равносторонний. Известно, что расстояния от точки K до прямых AD , AB и BC равны соответственно 3, 6 и 5. Найдите периметр параллелограмма.

Прислать комментарий

Решение

На стороне CD параллелограмма ABCD с тупым углом при вершине D построен равносторонний треугольник CDE так, что точки A и E лежат по разные стороны прямой CD . Известно, что расстояния от точек D и E до прямой BC равны соответственно 3 и 8, а расстояние от точки E до прямой AB равно 13. Найдите площадь параллелограмма ABCD .

Прислать комментарий

Решение

Внутри параллелограмма KLMN взята точка P так, что треугольник KPN равносторонний. Известно, что расстояния от точки P до прямых KL , LM и MN равны соответственно 10, 3 и 6. Найдите периметр параллелограмма.

Прислать комментарий

Решение

На стороне KN параллелограмма KLMN с тупым углом при вершине M построен равносторонний треугольник KTN так, что точки T и M лежат по разные стороны прямой KN . Известно, что расстояния от точек T и K до прямой MN равны соответственно 8 и 5, а расстояние от точки T до прямой LM равно 10. Найдите площадь параллелограмма KLMN .

Прислать комментарий

Решение

В трапеции ABCD сторона AB перпендикулярна основаниям AD и BC . Окружность касается стороны AB в точке K , лежащей между точками A и B , проходит через точки C и D , пересекает отрезки AD и BC в их внутренних точках. Найдите расстояние от точки K до прямой CD , если AD=49 , BC=36 .

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 39 40 41 42 43 44 45 >> [Всего задач: 312]