Для положительных чисел x₁, x₂, ..., x_n докажите неравенство  

   Решение

Положительные числа A, B, C и D таковы, что система уравнений
    x² + y² = A,
    |x| + |y| = B
имеет m решений, а система уравнений
    x² + y² + z² = C,
    |x| + |y| + |z| = D
имеет n решений. Известно, что  m > n > 1.  Найдите m и n.

   Решение

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ четыре числа – длины рёбер и диагонали AC₁ – образуют арифметическую прогрессию с положительной разностью d, причём AD < AB < AA₁. Две внешне касающиеся друг друга сферы одинакового неизвестного радиуса R расположены так, что их центры лежат внутри параллелепипеда, причём первая сфера касается граней ABB₁A₁, ADD₁A₁, ABCD, а вторая – граней BCC₁B₁, CDD₁C₁, A₁B₁C₁D₁. Найдите: а) длины рёбер параллелепипеда; б) угол между прямыми CD₁ и AC₁; в) радиус R.

   Решение

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ четыре числа – длины рёбер и диагонали AC₁ – образуют арифметическую прогрессию с положительной разностью d, причём AB < AA₁ < AD. Две внешне касающиеся друг друга сферы одинакового неизвестного радиуса R расположены так, что их центры лежат внутри параллелепипеда, причём первая сфера касается граней ABB₁A₁, ADD₁A₁, ABCD, а вторая – граней BCC₁B₁, CDD₁C₁, A₁B₁C₁D₁. Найдите: а) длины рёбер параллелепипеда; б) угол между прямыми CD₁ и AC₁; в) радиус R.

   Решение

Сторона основания ABCD правильной пирамиды SABCD равна 2, угол между боковым ребром и основанием равен arccos

1 √ 5

.

На рёбрах SA и SD расположены точки E и F так, что AE = 2ES, DF = 8SF. Через точки E и F проведена плоскость α, параллельная AB. Найдите:

1) площадь фигуры, полученной при пересечении пирамиды плоскостью α;

2) радиус сферы с центром в точке A, касающейся плоскости α;

3) угол между плоскостью α и плоскостью ABC.

   Решение

Страница: << 16 17 18 19 20 21 22 >> [Всего задач: 108]      

Ребро куба ABCDA1B1C1D1 равно 1. Найдите радиус сферы, касающейся: а) рёбер AD , DD1 , DC и плоскости A1BC1 ; б) рёбер AD , DD1 , DC и прямой BC1 .

Прислать комментарий

Решение

Ребро куба ABCDA1B1C1D1 равно 1. Найдите радиус сферы, касающейся: а) рёбер AB , AA1 , AD и плоскости B1CD1 ; б) рёбер AB , AA1 , AD и прямой CD1 .

Прислать комментарий

Решение

Ребро куба ABCDA1B1C1D1 равно 1. Найдите радиус сферы, касающейся: а) рёбер CB , CC1 , CD и плоскости B1AD1 ; б) рёбер CB , CC1 , CD и прямой AD1 .

Прислать комментарий

Решение

Сторона основания ABCD правильной пирамиды SABCD равна 2, высота пирамиды, опущенной на основание, равна 2

√ 2

.

На рёбрах SA и SD расположены точки E и F так, что AE = 2ES, SF = 5DF. Через точки E и F проведена плоскость α, параллельная CD. Найдите:

1) площадь фигуры, полученной при пересечении пирамиды плоскостью α;

2) радиус сферы с центром в точке A, касающейся плоскости α;

3) угол между плоскостью α и плоскостью ABC.

Прислать комментарий

Решение

Сторона основания ABCD правильной пирамиды SABCD равна 2, угол между боковым ребром и основанием равен arccos

1 √ 5

.

На рёбрах SA и SD расположены точки E и F так, что AE = 2ES, DF = 8SF. Через точки E и F проведена плоскость α, параллельная AB. Найдите:

1) площадь фигуры, полученной при пересечении пирамиды плоскостью α;

2) радиус сферы с центром в точке A, касающейся плоскости α;

3) угол между плоскостью α и плоскостью ABC.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 16 17 18 19 20 21 22 >> [Всего задач: 108]