В некотором государстве было 2002 города, соединённых дорогами так, что если запретить проезд через любой из городов, то из каждого из оставшихся городов можно добраться до любого другого. Каждый год король выбирает некоторый несамопересекающийся циклический маршрут и приказывает построить новый город, соединить его дорогами со всеми городами выбранного маршрута, а все дороги этого маршрута закрыть за ненадобностью. Через несколько лет в стране не осталось ни одного несамопересекающегося циклического маршрута, проходящего по ее городам. Докажите, что в этот момент количество городов, из которых выходит ровно одна дорога, не меньше 2002.

   Решение

В прямоугольном треугольнике известны отрезки a и b , на которые точка касания вписанного в треугольник круга делит гипотенузу. Найдите площадь этого треугольника.

   Решение

Страница: << 25 26 27 28 29 30 31 >> [Всего задач: 213]      

Пусть Ω' – окружность, гомотетичная с коэффициентом ½ вписанной окружности ω треугольника относительно точки Нагеля, а Ω – окружность, гомотетичная окружности ω
с коэффициентом –½ относительно точки пересечения медиан. Докажите, что:
  а) окружности Ω и Ω' совпадают;
  б) окружность Ω касается средних линий треугольника;
  в) окружность Ω' касается прямых, соединяющих попарно середины отрезков с концами в точке Нагеля и вершинах треугольника.

Прислать комментарий

Решение

Пусть p – полупериметр остроугольного треугольника, R и r – радиусы соответственно описанной и вписанной окружностей, q – полупериметр треугольника с вершинами в основаниях высот данного. Докажите, что R:r = p:q .

Прислать комментарий

Решение

В треугольнике ABC , где AB=BC=3 , ABC = arccos , проведены медиана AD и биссектриса CE пересекающиеся в точке M . Через точку M проведена прямая, параллельная AC и пересекающая стороны AB и BC в точках P и Q соответственно. Найдите PM и радиус окружности, вписанной в треугольник PQB .

Прислать комментарий

Решение

В треугольнике ABC , где AB=BC=5 , ABC = 2 arcsin , проведены медиана AD и биссектриса CE , пересекающиеся в точке M . Через точку M проведена прямая, параллельная AC и пересекающая стороны AB и BC в точках P и Q соответственно. Найдите AP и радиус окружности, вписанной в треугольник PQB .

Прислать комментарий

Решение

В прямоугольном треугольнике известны отрезки a и b , на которые точка касания вписанного в треугольник круга делит гипотенузу. Найдите площадь этого треугольника.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 25 26 27 28 29 30 31 >> [Всего задач: 213]