Каталог по темам

Задачи

Страница: << 28 29 30 31 32 33 34 >> [Всего задач: 267]

Задача 110070

Темы:	[	Исследование квадратного трехчлена	]
	[	Квадратные уравнения. Теорема Виета	]
	[	Целочисленные и целозначные многочлены	]
	[	Теория игр (прочее)	]

Сложность: 4
Классы: 8,9

Автор: Агаханов Н.Х.

Петя и Коля играют в следующую игру: они по очереди изменяют один из коэффициентов a или b квадратного трёхчлена x² + ax + b: Петя на 1, Коля – на 1 или на 3. Коля выигрывает, если после хода одного из игроков получается трёхчлен, имеющий целые корни. Верно ли, что Коля может выиграть при любых начальных целых коэффициентах a и b независимо от игры Пети?

Прислать комментарий

Решение

Задача 110209

Темы:	[	Квадратные уравнения. Теорема Виета	]
	[	Доказательство от противного	]
	[	Подсчет двумя способами	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Автор: Бадзян А.И.

Даны n > 1 приведённых квадратных трёхчленов x² – a₁x + b₁, ..., x² – a_nx + b_n, причём все 2n чисел a₁, ..., a_n, b₁, ..., b_n различны.
Может ли случиться, что каждое из чисел a₁, ..., a_n, b₁, ..., b_n является корнем одного из этих трёхчленов?

Прислать комментарий

Решение

Задача 78126

Темы:	[	Квадратные уравнения и системы уравнений	]
	[	Четность и нечетность	]
	[	Квадратный трехчлен (прочее)	]
	[	Периодичность и непериодичность	]

Сложность: 4+
Классы: 9,10,11

Найти все действительные решения системы

Прислать комментарий

Решение

Задача 109734

Темы:	[	Исследование квадратного трехчлена	]
	[	Производная и касательная	]
	[	Выпуклость и вогнутость (прочее)	]

Сложность: 4+
Классы: 10,11

Авторы: Берлов С.Л., Подлипский О.К.

Приведенные квадратные трёхчлены f(x) и g(x) принимают отрицательные значения на непересекающихся интервалах.
Докажите, что найдутся такие положительные числа α и β, что для любого действительного x будет выполняться неравенство αf(x) + βg(x) > 0.

Прислать комментарий

Решение

Задача 111865

Темы:	[	Квадратные уравнения. Теорема Виета	]
	[	Числовые таблицы и их свойства	]
	[	Простые числа и их свойства	]
	[	Доказательство от противного	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9,10,11

Авторы: Богданов И.И., Подлипский О.К.

Числа от 51 до 150 расставлены в таблицу 10×10. Может ли случиться, что для каждой пары чисел a, b, стоящих в соседних по стороне клетках, хотя бы одно из уравнений x² – ax + b = 0 и x² – bx + a = 0 имеет два целых корня?

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 28 29 30 31 32 33 34 >> [Всего задач: 267]