Версия для печати
Убрать все задачи

---

Сумма положительных чисел a, b, c равна 3. Докажите, что  

   Решение

---

Дано натуральное  n > 1.  Число  a > n²  таково, что среди чисел  a + 1, a + 2, ..., a + n  есть кратные каждого из чисел  n² + 1, n² + 2, ..., n² + n.
Докажите, что  a > n⁴ – n³.

   Решение

Страница: << 27 28 29 30 31 32 33 >> [Всего задач: 178]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 110215

Темы:   [ Неравенство Коши ] [ Алгебраические неравенства (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

Известно, что     и  x₁ + x₂ + ... + x₆ = 0.  Докажите, что x₁x₂...x₆ ≤ ½.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 115414

Темы:   [ Делимость чисел. Общие свойства ] [ Алгебраические неравенства (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

Дано натуральное  n > 1.  Число  a > n²  таково, что среди чисел  a + 1, a + 2, ..., a + n  есть кратные каждого из чисел  n² + 1, n² + 2, ..., n² + n.
Докажите, что  a > n⁴ – n³.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 61394

Темы:   [ Произведения и факториалы ] [ Алгебраические неравенства (прочее) ] [ Разбиения на пары и группы; биекции ] [ Классические неравенства (прочее) ] [ Треугольник Паскаля и бином Ньютона ] [ Индукция (прочее) ] [ Число e ]

Сложность: 4+ Классы: 10,11

Докажите неравенства:
  а)  

  б)     при  n > 1;

  в)     при n > 6.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 110122

Темы:   [ Монотонность, ограниченность ] [ Алгебраические неравенства (прочее) ]

Сложность: 4+ Классы: 9,10,11

Функции  f(x) – x  и  f(x²) – x⁶  определены при всех положительных x и возрастают.
Докажите, что функция     также возрастает при всех положительных x.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 79520

Темы:   [ Тригонометрические замены ] [ Алгебраические неравенства (прочее) ] [ Тригонометрические неравенства ]

Сложность: 5- Классы: 10,11

а) Доказать, что из трёх положительных чисел всегда можно выбрать такие два числа x и y, что  0 ≤ ≤ 1.
б) Верно ли, что указанные два числа можно выбрать из любых четырёх чисел?

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 27 28 29 30 31 32 33 >> [Всего задач: 178]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями