В параллелограмме ABCD сторона  AB = 420.  На стороне BC взята точка E так, что  BE : EC = 5: 7,  и проведена прямая DE, пересекающая продолжение AB в точке F. Найдите BF.

   Решение

Найдите все простые числа вида  P^P + 1  (P – натуральное), содержащие не более 19 цифр.

   Решение

На стороне AC треугольника ABC отмечены точки D и E, а на отрезке BE – точка F. Оказалось, что  AC = BD,  2∠ACF = ∠ADB,  2∠CAF = ∠CDB.
Докажите, что  AD = CE.

   Решение

Точка P , лежащая на большей из двух дуг AB окружности, соединена с серединой M меньшей дуги AB . Хорды PL и PM пересекают хорду AB соответственно в её середине K и в некоторой точке N . Сравните отрезки KL и MN .

   Решение

В треугольнике ABC угол A в 2 раза больше угла B, AL – биссектриса треугольника. На луче AL отложен отрезок AK, равный CL.
Докажите, что  AK = CK.

   Решение

Докажите, что если окружность и прямая (либо две окружности) касаются в точке M , отличной от точки O , то их образы при инверсии относительно окружности с центром O также касаются, а при инверсии с центром M окружность и прямая (две окружности) переходят в две параллельные прямые.

   Решение

Страница: << 60 61 62 63 64 65 66 >> [Всего задач: 329]      

Через центр O окружности Σ , описанной около треугольника ABC , проведена прямая, параллельная BC и пересекающая стороны AB и AC в точках B1 и C1 соответственно. Окружность σ проходит через точки B1 и C1 и касается Σ в точке K . Найдите угол между прямыми AK и BC . Найдите площадь треугольника ABC и радиус окружности Σ , если BC=8 , AK=5 , B1C1=5 .

Прислать комментарий

Решение

Докажите, что если окружность и прямая (либо две окружности) касаются в точке M , отличной от точки O , то их образы при инверсии относительно окружности с центром O также касаются, а при инверсии с центром M окружность и прямая (две окружности) переходят в две параллельные прямые.

Прислать комментарий

Решение

Окружность S₁ вписана в угол A треугольника ABC; окружность S₂ вписана в угол B и касается S₁ (внешним образом); окружность S₃ вписана в угол C и касается S₂; окружность S₄ вписана в угол A и касается S₃ и т. д. Докажите, что окружность S₇ совпадает с S₁.

Прислать комментарий

Решение

В угол вписаны две окружности ω и Ω. Прямая l пересекает стороны угла в точках A и F, окружность ω в точках B и C, окружность Ω в точках D и E (порядок точек на прямой – A, B, C, D, E, F). Пусть  BC = DE.  Докажите, что  AB = EF.

Прислать комментарий

Решение

Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность. Лучи $BA$ и $CD$ пересекаются в точке $P$. Прямая, проходящая через $P$ и параллельная касательной к окружности в точке $D$, пересекает в точках $U$ и $V$ касательные, проведённые к окружности в точках $A$ и $B$. Докажите, что окружности, описанные около треугольника $CUV$ и четырёхугольника $ABCD$, касаются.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 60 61 62 63 64 65 66 >> [Всего задач: 329]