Версия для печати
Убрать все задачи

---

Набор из 2003 положительных чисел таков, что для любых двух входящих в него чисел a и b ( a>b ) хотя бы одно из чисел a+b или a-b тоже входит в набор. Докажите, что если данные числа упорядочить по возрастанию, то разности между соседними числами окажутся одинаковыми.

   Решение

---

Пусть K, L, M, N – середины сторон AB, BC, CD, AD выпуклого четырёхугольника ABCD; отрезки KM и LN пересекаются в точке O.
Докажите, что   S_AKON + S_CLOM = S_BKOL + S_DNOM.

   Решение

---

В выпуклом четырёхугольнике ABCD:  ∠ВАС = 20°,  ∠ВСА = 35°,  ∠ВDС = 40°,  ∠ВDА = 70°.
Найдите угол между диагоналями четырёхугольника.

   Решение

---

На некоторых клетках шахматной доски лежит по конфете. Известно, что в каждой строке, в каждом столбце и в каждой диагонали (любой длины, даже состоящей из одной клетки) лежит чётное количество конфет (возможно, ни одной). Какое максимальное количество конфет может лежать на доске?

   Решение

---

Числа от 1 до 37 записали в строку так, что сумма любых первых нескольких чисел делится на следующее за ними число.
Какое число стоит на третьем месте, если на первом месте написано число 37, а на втором – 1?

   Решение

---

Найдите все простые числа p, q и r, для которых выполняется равенство:  p + q = (p – q)^r.

   Решение

---

Две окружности пересекаются в точках P и Q. Прямая пересекает эти окружности последовательно в точках A, B, C и D, как показано на рисунке.

Докажите, что  ∠APB = ∠CQD.

   Решение

---

Как расположить в пространстве спичечный коробок, чтобы его проекция на плоскость имела наибольшую площадь?

   Решение

Страница: << 5 6 7 8 9 10 11 >> [Всего задач: 64]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 110550

Темы:   [ Площадь сечения ] [ Площадь и ортогональная проекция ] [ Правильная призма ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Сторона основания ABC правильной треугольной призмы ABCA1B1C1 равна 12, а высота равна . На рёбрах AC , A1C1 и AB расположены соответственно точки P , F и E так, что AP=2 , A₁F=6 и AE=6 . Постройте сечение призмы плоскостью, проходящей через точки P , F и E . Найдите площадь сечения и угол между плоскостью основания призмы и плоскостью сечения.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 110551

Темы:   [ Площадь сечения ] [ Площадь и ортогональная проекция ] [ Правильная призма ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Правильная треугольная призма ABCA1B1C1 пересечена плоскостью, проходящей через середины рёбер AB , A1C1 и BB1 . Постройте сечение призмы, найдите площадь сечения и вычислите угол между плоскостью основания ABC и плоскостью сечения, если сторона основания равна 4, а высота призмы равна .

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 111363

Темы:   [ Двугранный угол ] [ Площадь и ортогональная проекция ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

В пирамиде ABCD двугранный угол при ребре AC равен 90^o , AB=BC=CD , BD = AC . Найдите двугранный угол при ребре AD .

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 115942

Темы:   [ Площадь и объем (задачи на экстремум) ] [ Площадь и ортогональная проекция ] [ Прямоугольные параллелепипеды ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Как расположить в пространстве спичечный коробок, чтобы его проекция на плоскость имела наибольшую площадь?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 73654

Темы:   [ Проектирование помогает решить задачу ] [ Площадь и ортогональная проекция ] [ Выпуклые тела ] [ Многогранники и многоугольники (прочее) ]

Сложность: 6 Классы: 10,11

Если на каждой грани выпуклого многогранника выбрать по точке и провести из этой точки направленный перпендикулярно соответствующей грани во внешнюю сторону вектор, длина которого равна площади этой грани, то сумма всех таких векторов окажется равна нулю. Докажите это.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 5 6 7 8 9 10 11 >> [Всего задач: 64]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями