Страница:
<< 24 25 26 27
28 29 30 >> [Всего задач: 152]
|
|
|
Сложность: 3+
Классы: 10,11
|
Существует ли треугольная пирамида, среди шести рёбер которой:
а) два ребра по длине меньше 1 см, а остальные четыре – больше 1 км?
б) четыре ребра по длине меньше 1 см, а остальные два – больше 1 км?
a и b – две данные стороны треугольника.
Как подобрать третью сторону c так, чтобы точки касания вписанной и вневписанной окружностей с этой стороной делили её на три равных отрезка?
При каких a и b такая сторона существует?
(Рассматривается вневписанная окружность, касающаяся стороны c и продолжений сторон a и b.)
|
|
|
Сложность: 3+
Классы: 9,10,11
|
Диагонали выпуклого четырёхугольника ABCD перпендикулярны и
пересекаются в точке O. Известно, что сумма радиусов окружностей, вписанных в треугольники AOB и COD, равна сумме радиусов окружностей, вписанных в треугольники BOC и DOA. Докажите, что
а) четырёхугольник ABCD – описанный;
б) четырёхугольник ABCD симметричен относительно одной из своих диагоналей.
В треугольнике ABC высоты или их продолжения пересекаются в точке H, а R – радиус его описанной окружности.
Докажите, что если ∠A ≤ ∠B ≤ ∠C, то AH + BH ≥ 2R.
|
|
|
Сложность: 4-
Классы: 7,8,9,10
|
На некотором поле шахматной доски стоит фишка. Двое по очереди переставляют
фишку, при этом на каждом ходу, начиная со второго, расстояние, на которое она
перемещается, должно быть строго больше, чем на предыдущем ходу. Проигравшим
считается тот, кто не может сделать очередной ход. Кто выигрывает при правильной игре? (Фишка ставится всегда точно в центр каждого поля.)
Страница:
<< 24 25 26 27
28 29 30 >> [Всего задач: 152]
Фильтр
Решение 
