Фильтр
Выбрано 15 задач Убрать все задачи
В Чикаго орудует 36 преступных банд, некоторые из которых враждуют между собой. Каждый гангстер состоит в нескольких бандах, причём каждые два гангстера состоят в разных наборах банд. Известно, что ни один гангстер не состоит в двух бандах, враждующих между собой. Кроме того, оказалось, что каждая банда, в которой не состоит некоторый гангстер, враждует с какой-то бандой, в которой данный гангстер состоит. Какое наибольшее количество гангстеров может быть в Чикаго?
Ладья стоит на левом поле клетчатой полоски 1×30 и за ход может сдвинуться на любое количество клеток вправо.
а) Сколькими способами она может добраться до крайнего правого поля?
б) Сколькими способами она может добраться до крайнего правого поля ровно за семь ходов?
В треугольнике ABC перпендикуляр, проходящий через середину стороны AB, пересекает сторону AC в точке M, причём MA/MC = 3. Перпендикуляр, проходящий через середину стороны AC, пересекает сторону AB в точке N, причём AN/BN = 2. Найдите углы треугольника ABC.
Найдите все простые числа, которые отличаются на 17.
Какое наибольшее число точек можно разместить
(Разумеется, в условии подразумевается, что никакие три точки не должны лежать
на одной прямой – без этого ограничения можно разместить сколько угодно
точек.)
Касательные к описанной вокруг треугольника ABC окружности, проведённые в точках A и B, пересекаются в точке P.
Докажите, что прямая PC пересекает сторону AB в точке K, делящей её в отношении AC² : BC².
Имеются два сосуда. В них разлили 1 л воды. Из
первого сосуда переливают половину воды во второй, затем из
второго переливают половину оказавшейся в нем воды в первый,
затем из первого сосуда переливают половину оказавшейся в нем
воды во второй и т. д. Докажите, что независимо от того, сколько
воды было сначала в каждом из сосудов, после 100 переливаний в
них будет
л и
л с точностью до 1
миллилитра.
Пусть $M$ – середина гипотенузы $AB$ прямоугольного треугольника $ABC$. Окружность, проходящая через $C$ и $M$, пересекает прямые $BC$ и $AC$ в точках $P$ и $Q$ соответственно. Пусть $c_1, c_2$ – окружности с центрами $P$, $Q$ и радиусами $BP$, $AQ$ соответственно. Докажите, что $c_1$, $c_2$ и описанная окружность треугольника $ABC$ проходят через одну точку.
В кооперативе из 11 человек имеется партячейка. На каждом собрании ячейки происходит либо приём одного члена в партию, либо исключение из партии одного человека. В партячейке не может быть меньше трёх человек. Возвращаться к какому-либо из прежних составов партячейки запрещено уставом. Может ли к какому-то моменту оказаться, что все варианты состава ячейки реализованы?
В остроугольном треугольнике АВС биссектриса AN, высота BH и прямая, перпендикулярная стороне АВ и проходящая через ее середину, пересекаются в одной точке. Найдите угол ВАС.
На сторонах AB, BC, CD, DA квадрата ABCD взяты соответственно точки N, K, L, M, делящие эти стороны в одном и том же отношении (при обходе по часовой стрелке). Докажите, что KLMN – также квадрат.
Окружность, вписанная в прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8, касается гипотенузы в точке M. Найдите расстояние от точки M до вершины прямого угла.
Дан треугольник ABC и точка P. Точки A', B', C' – проекции P на прямые BC, CA, AB. Прямая, проходящая через P и параллельная AB, вторично пересекает описанную окружность треугольника PA'B' в точке C1. Точки A1, B1 определены аналогично. Докажите, что
а) прямые AA1, BB1, CC1 пересекаются в одной точке;
б) треугольники ABC и A1B1C1 подобны.
Отрезок, соединяющий середины двух противоположных сторон выпуклого четырёхугольника, равен полусумме двух других сторон.
Докажите, что этот четырёхугольник – трапеция или параллелограмм.
Сколькими способами можно сделать трёхцветный флаг с горизонтальными полосами одинаковой ширины, если имеется материя шести различных цветов?
Задачи Страница: << 9 10 11 12 13 14 15 >> [Всего задач: 171]
Задача 98184 |
|
|
В ботаническом справочнике каждое растение характеризуется 100 признаками
(каждый признак либо присутствует, либо отсутствует). Растения считаются
непохожими, если они различаются не менее, чем по 51 признаку.
а) Покажите, что в справочнике не может находиться больше 50 попарно непохожих растений.
б) А может ли быть ровно 50?
|
|
Решение |
Задача 73673 |
|
|
m и n – натуральные числа, m < n. Докажите, что
|
|
|
Решение |
Задача 78166 |
|
|
В школе изучают 2n предметов. Все ученики учатся на 4 и 5. Никакие два
ученика не учатся одинаково, ни про каких двух нельзя сказать, что один из них
учится лучше другого. Доказать, что число учеников в школе не больше .
(Мы считаем, что ученик p учится лучше ученика q, если у p оценки по всем предметам не ниже, чем у q, а по некоторым предметам – выше.)
|
|
|
Решение |
Задача 30325 |
|
|
Сколькими способами можно сделать трёхцветный флаг с горизонтальными полосами одинаковой ширины, если имеется материя шести различных цветов?
|
|
Решение |
Задача 30344 |
|
|
На полке стоят пять книг. Сколькими способами можно выложить в стопку несколько из них (стопка может состоять и из одной книги)?
|
|
|
Решение |
Страница: << 9 10 11 12 13 14 15 >> [Всего задач: 171]
