Каталог по темам

Выбрано 13 задач

Известно, что среди нескольких монет имеется ровно одна фальшивая (отличается по весу от настоящих). С помощью двух взвешиваний на чашечных весах без гирь определите, легче или тяжелее фальшивая монета настоящей (находить ее не надо), если монет
а) 100;
б) 99;
в) 98?

Решение

Авторы: Анджанс А., Берзиньш А.

В квадрате со стороной 1 проведено конечное количество отрезков, параллельных его сторонам. Отрезки могут пересекать друг друга. Сумма длин проведенных отрезков равна 18. Докажите, что среди частей, на которые разбивается квадрат этими отрезками, найдётся такая, площадь которой не меньше 0,01.

Решение

Докажите равенство

Решение

Внутри равностороннего треугольника со стороной 1 расположено пять точек. Докажите, что расстояние между некоторыми двумя из них меньше 0, 5.

Решение

Вычислите производящие функции следующих последовательностей:
а) б)

Решение

Даны два набора из n вещественных чисел: a₁, a₂, ..., a_n и b₁, b₂, ..., b_n. Докажите, что если выполняется хотя бы одно из двух условий:
а) из a_i < a_j следует, что b_i ≤ b_j;
б) из a_i < a < a_j, где a = ¹/_n (a₁ + a₂ + ... + a_n), следует, что b_i ≤ b_j,
то верно неравенство n(a₁ b₁ + a₂b₂ + ... + a_nb_n) ≥ (a₁ + a₂ + ... + a_n)(b₁ + b₂ + ... + b_n).

Решение

Какое слагаемое в разложении (1 + )¹⁰⁰ по формуле бинома Ньютона будет наибольшим?

Решение

В разложении (x + y)ⁿ по формуле бинома Ньютона второй член оказался равен 240, третий – 720, а четвёртый – 1080. Найдите x, y и n.

Решение

Докажите, что если p – простое число и 1 ≤ k ≤ p – 1, то делится на p.

Решение

Здесь изображен фрагмент таблицы, которая называется треугольником Лейбница. Его свойства "аналогичны в смысле противоположности" свойствам треугольника Паскаля. Числа на границе треугольника обратны последовательным натуральным числам. Каждое число внутри равно сумме двух чисел, стоящих под ним. Найдите формулу, которая связывает числа из треугольников Паскаля и Лейбница.

Решение

На плоскости даны 25 точек; известно, что из любых трёх точек можно выбрать две, расстояние между которыми меньше 1. Доказать, что среди данных точек найдутся 13, лежащие в круге радиуса 1.

Решение

Автор: Шаповалов А.В.

На координатной плоскости отмечены некоторые точки с целыми координатами. Известно, что никакие четыре из них не лежат на одной окружности. Докажите, что найдётся круг радиуса 1995, в котором не отмечено ни одной точки.

Решение

Автор: Шаповалов М.

Маляр-хамелеон ходит по клетчатой доске как хромая ладья (на одну клетку по вертикали или горизонтали). Попав в очередную клетку, он либо перекрашивается в её цвет, либо перекрашивает клетку в свой цвет. Белого маляра-хамелеона кладут на чёрную доску размером 8×8 клеток. Сможет ли он раскрасить её в шахматном порядке?

Решение

Задача 34869

Задача 34989

Задача 35655

Задача 35673

Задача 64324