- Индукция (414 задач)
- Принцип Дирихле (591 задача)
- Принцип крайнего (489 задач)
- Инварианты и полуинварианты (288 задач)
- Вспомогательная раскраска (161 задача)
- Алгебраические методы (1224 задачи)
- Геометрические методы (354 задачи)
- Методы математического анализа (129 задач)
- Доказательство от противного (398 задач)
- Примеры и контрпримеры. Конструкции (1036 задач)
- Методы решения задач с параметром (53 задачи)
- Оценка + пример (147 задач)
Фильтр
Выбрано 7 задач Убрать все задачи
Пусть a, b, m, n – натуральные числа, причём числа a и b взаимно просты и a > 1.
Докажите, что если am + bm делится на an + bn, то m делится на n.
а) Докажите, что существует единственное аффинное
преобразование, которое переводит данную точку O в данную
точку O', а данный базис векторов
e1,
e2 —
в данный базис
e1',
e2'.
б) Даны два треугольника ABC и A1B1C1. Докажите,
что существует единственное аффинное преобразование, переводящее
точку A в A1, B — в B1, C — в C1.
в) Даны два параллелограмма. Докажите, что существует
единственное аффинное преобразование, которое один из них
переводит в другой.
Пусть $OABCDEF$ – шестигранная пирамида с основанием $ABCDEF$, описанная около сферы $\omega$. Плоскость, проходящая через точки касания $\omega$ с гранями $OFA$, $OAB$ и $ABCDEF$, пересекает ребро $OA$ в точке $A_1$; аналогично определяются точки $B_1$, $C_1$, $D_1$, $E_1$ и $F_1$. Пусть $\ell$, $m$ и $n$ – прямые $A_1D_1$, $B_1E_1$ и $C_1F_1$ соответственно. Оказалось, что $\ell$ и $m$ лежат в одной плоскости, $m$ и $n$ также лежат в одной плоскости. Докажите, что $\ell$ и $n$ лежат в одной плоскости.
Вершина A остроугольного треугольника ABC
соединена отрезком с центром O описанной окружности. Из вершины A
проведена высота AH. Докажите, что
BAH =
OAC.
Дано число 1·2·3·4·5·...·56·57.
а) Какая последняя цифра этого числа?
б) Каковы десять последних цифр этого числа?
Петя написал на доске верное равенство: 35+10-41=42+12-50, а затем вычел из обеих частей по 4: 35+10-45=42+12-54. Он заметил, что в левой части равенства все числа делятся на 5, а в правой - на 6. Тогда он вынес в левой части 5 за скобки, а в правой - 6 и получил 5(7+2-9)=6(7+2-9). Сократив обе части на общий множитель, Петя получил, что 5=6. Где он ошибся?
8 теннисистов провели круговой турнир. Докажите, что найдутся 4 теннисиста A,B,C,D, такие что A выиграл у B,C,D, B выиграл у C и D, C выиграл у D.
Задачи Страница: << 19 20 21 22 23 24 25 >> [Всего задач: 4229]
Задача 34901 |
|
|
В таблицу n*n записаны n2 чисел, сумма которых неотрицательна. Докажите, что можно переставить столбцы таблицы так, что сумма n чисел, расположенных по диагонали, идущей из левого нижнего угла в правый верхний, будет неотрицательна.
|
|
Решение |
Задача 34962 |
|
|
Можно ли расположить на плоскости 1000 отрезков так, чтобы каждый отрезок своими концами упирался строго внутрь других отрезков.
|
|
|
Решение |
Задача 34963 |
|
|
8 теннисистов провели круговой турнир. Докажите, что найдутся 4 теннисиста A,B,C,D, такие что A выиграл у B,C,D, B выиграл у C и D, C выиграл у D.
|
|
Решение |
Задача 103976 |
|
|
Юра, Лёша и Миша коллекционируют марки. Количество Юриных марок, которых нет у Лёши, меньше, чем количество марок, которые есть и у Юры, и у Лёши. Точно так же, число Лёшиных марок, которых нет у Миши, меньше, чем число марок, которые есть и у Лёши и у Миши. А число Мишиных марок, которых нет у Юры, меньше, чем число марок, которые есть и у Юры и у Миши. Докажите, что какая-то марка есть у каждого из трех мальчиков.
|
|
|
Решение |
Задача 21976 |
|
|
Дано 8 различных натуральных чисел, не больших 15. Докажите, что среди их положительных попарных разностей есть три одинаковых.
|
|
|
Решение |
Страница: << 19 20 21 22 23 24 25 >> [Всего задач: 4229]
