Медианы треугольника ABC разрезают его на 6 треугольников. Докажите, что центры описанных окружностей этих треугольников лежат на одной окружности.

   Решение

Докажите, что если вершины шестиугольника ABCDEF лежат на одной конике, то точки пересечения продолжений его противоположных сторон (т. е. прямых AB и DE, BC и EF, CD и AF) лежат на одной прямой (Паскаль).

   Решение

Школьник хочет вырезать из квадрата размером 2n×2n наибольшее количество прямоугольников размером 1×(n + 1). Найти это количество для каждого натурального значения n.

   Решение

Докажите, что произвольное уравнение третьей степени  z³ + Az² + Bz + C = 0  при помощи линейной замены переменной  z = x + β  можно привести к виду  x³ + px + q = 0.

   Решение

В шестиугольнике, описанном около окружности, даны пять последовательных сторон — a, b, c, d, e. Найдите шестую сторону.

   Решение

В таблице
    0 1 2 3 ... 9
    9 0 1 2 ... 8
    8 9 0 1 ... 7
        ...
    1 2 3 4 ... 0
отмечено 10 элементов так, что в каждой строке и каждом столбце отмечен один элемент.
Докажите, что среди отмеченных элементов есть хотя бы два равных.

   Решение

Можно ли невыпуклый четырехугольник разрезать двумя прямыми на 6 частей?

   Решение

Биссектрисы $AI$ и $CI$ пересекают описанную окружность треугольника $ABC$ в точках $A_1$, $C_1$ соответственно. Описанная окружность треугольника $AIC_1$ пересекает сторону $AB$ в точке $C_0$; аналогично определим $A_0$. Докажите, что точки $A_0,$ $A_1$, $C_0$, $C_1$ лежат на одной прямой.

   Решение

Известно, что  a⁵ – a³ + a = 2.  Докажите, что  a⁶ > 3.

   Решение

Страница: << 7 8 9 10 11 12 13 >> [Всего задач: 965]      

Прямая пересекает график функции  y = x²  в точках с абсциссами x₁ и x₂, а ось абсцисс – в точке с абсциссой x₃. Докажите, что    .

Прислать комментарий

Решение

Алёша написал на доске пять целых чисел – коэффициенты и корни квадратного трёхчлена. Боря стёр одно из них. Остались числа 2, 3, 4, –5. Восстановите стёртое число.

Прислать комментарий

Решение

Про действительные числа a, b, c известно, что  (a + b + c)c < 0.  Докажите, что  b² – 4ac > 0.

Прислать комментарий

Решение

Известно, что  a⁵ – a³ + a = 2.  Докажите, что  a⁶ > 3.

Прислать комментарий

Решение

Найдите сумму коэффициентов при чётных степенях в многочлене, который получается из выражения  f(x) = (x³ – x + 1)¹⁰⁰  в результате раскрытия скобок и приведения подобных слагаемых.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 7 8 9 10 11 12 13 >> [Всего задач: 965]