В прямоугольном треугольнике ABC угол ACB – прямой. Пусть E – точка пересечения биссектрисы угла ABC со стороной AC. Точка D – середина стороны AB,  O – точка пересечения отрезков BE и CD. Через точку O проведён перпендикуляр к BO до пересечения со стороной BC в точке F. Известно, что
FC = b,  OC = ^3b/₂.  Найдите площадь треугольника ABC.

   Решение

На клетчатой доске размером 23×23 клетки стоят четыре фишки: в левом нижнем и в правом верхнем углах доски – по белой фишке, а в левом верхнем и в правом нижнем углах - по чёрной. Белые и чёрные фишки ходят по очереди, начинают белые. Каждым ходом одна из фишек сдвигается на любую соседнюю (по стороне) свободную клетку. Белые фишки стремятся попасть в две соседние по стороне клетки. Могут ли чёрные им помешать?

   Решение

В треугольнике ABC проведены биссектрисы AD и BE. Найдите величину угла C, если известно, что  AD ^. BC = BE ^. AC и ACBC.

   Решение

Пусть p – простое число и представление числа n в p-ичной системе имеет вид:   n = a_kp^k + a_k–1p^k–1 + ... + a₁p¹ + a₀.
Найдите формулу, выражающую показатель α_p, с которым это число p входит в каноническое разложение n!, через n, p, и коэффициенты a_k.

   Решение

На полях A, B и C в левом нижнем углу шахматной доски стоят белые ладьи (см. рис.). Разрешается делать ходы по обычным правилам, однако после любого хода каждая ладья должна быть под защитой какой-нибудь другой ладьи. Можно ли за несколько ходов переставить ладьи так, чтобы каждая попала на обозначенное той же буквой поле в правом верхнем углу?

   Решение

В остроугольном треугольнике ABC на высоте AD взята точка M, а на высоте BP – точка N так, что углы BMC и ANC – прямые. Расстояние между точками M и N равно  4 + 2,  угол MCN равен 30°. Найдите биссектрису CL треугольника CMN.

   Решение

Даны отрезки a и b. С помощью циркуля и линейки постройте отрезок .

   Решение

В прямоугольном треугольнике ABC точка D – середина высоты, опущенной на гипотенузу AB. Прямые, симметричные AB относительно AD и BD, пересекаются в точке F. Найдите отношение площадей треугольников ABF и ABC.

   Решение

В трапеции ABCD точки K и M являются соответственно серединами оснований AB = 5 и CD = 3. Найдите площадь трапеции, если треугольник AMB — прямоугольный, а DK — высота трапеции.

   Решение

Высота CD треугольника ABC делит сторону AB на отрезки AD и BD, причём AD ^. BD = CD². Верно ли, что треугольник ABC прямоугольный?

   Решение

В прямоугольный треугольник вписан квадрат так, что одна из его сторон находится на гипотенузе. Боковые отрезки гипотенузы равны m и n. Найдите площадь квадрата.

   Решение

Доказать, что если целое  n > 1,  то  1¹·2²·3³·...·nⁿ < n^n(n+1)/2.

   Решение

На отрезке AC взята точка B. На AB и AC как на диаметрах построены окружности. К отрезку AC в точке B проведён перпендикуляр BD до пересечения с большей окружностью в точке D. Из точки C проведена касательная CK к меньшей окружности. Докажите, что CD = CK.

   Решение

Может ли некоторое сечение куба быть правильным пятиугольником?

   Решение

Страница: << 7 8 9 10 11 12 13 [Всего задач: 65]      

На ребре $AD$ и диагонали $A_1C$ параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ взяты соответственно точки $M$ и $N$, причём прямая $MN$ параллельна плоскости $BDC_1$ и $AM:AD = 1:5$. Найдите отношение $CN:CA_1$.

Прислать комментарий

Решение

В основании пирамиды объёма V лежит трапеция с основаниями m и n . Плоскость отсекает от неё пирамиду объёма U , а в сечении получается снова трапеция с основаниями m1 и n1 . Докажите, что = .

Прислать комментарий

Решение

Сфера радиуса 4 с центром в точке Q касается трех параллельных прямых в точках F, G и H. Известно, что площадь треугольника QGH равна 4, а площадь треугольника FGH больше 16. Найдите угол GFH.

Прислать комментарий

Решение

Может ли некоторое сечение куба быть правильным пятиугольником?

Прислать комментарий

Решение

В тетраэдре ABCD из вершины A опустили перпендикуляры AB' , AC' , AD' на плоскости, делящие двугранные углы при ребрах CD , BD , BC пополам. Докажите, что плоскость (B'C'D') параллельна плоскости (BCD) .

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 7 8 9 10 11 12 13 [Всего задач: 65]