Версия для печати
Убрать все задачи

---

Докажите равенство:

   Решение

---

Докажите, что композиция двух симметрий относительно параллельных прямых есть параллельный перенос в направлении, перпендикулярном к этим прямым, на величину, равную удвоенному расстоянию между ними.

   Решение

---

Сумма катетов прямоугольного треугольника равна l , а высота, опущенная из вершины прямого угла, равна h . Найдите площадь треугольника.

   Решение

---

От потолка комнаты вертикально вниз по стене поползли две мухи. Спустившись до пола, они поползли обратно. Первая муха ползла в оба конца с одной и той же скоростью, а вторая хотя и поднималась вдвое медленнее первой, но зато спускалась вдвое быстрее.
Какая из мух раньше приползет обратно? У какой из мух выше средняя скорость движения?

   Решение

---

Два различных числа x и y (не обязательно целых) таковы, что  x² – 2000x = y² – 2000y.  Найдите сумму чисел x и y.

   Решение

---

Дан треугольник ABC, в котором  AB = BC ≠ AC.  На стороне AB выбрана точка E, на продолжении стороны AC за точку A выбрана точка D, причём  ∠BDC = ∠ECA.  Докажите, что площади треугольников DEC и ABC равны.

   Решение

---

Сколькими способами можно составить расписание первого тура чемпионата России по футболу, в котором играет 16 команд? (Является важным, кто хозяин поля.)

   Решение

Страница: << 7 8 9 10 11 12 13 >> [Всего задач: 61]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 78628

Темы:   [ Числовые таблицы и их свойства ] [ НОД и НОК. Взаимная простота ] [ Перестановки и подстановки (прочее) ] [ Принцип крайнего (прочее) ]

Сложность: 4+ Классы: 9,10,11

Дана таблица n×n клеток и такие натуральные числа k и  m > k,  что m и  n – k  взаимно просты. Таблица заполняется следующим образом: пусть в некоторой строчке записаны числа  a₁, ..., a_k, a_k+1, ..., a_m, a_m+1, ..., a_n.  Тогда в следующей строчке записываются те же числа, но в таком порядке:  a_m+1, ..., a_n, a_k+1, ..., a_m, a₁, ..., a_k.  В первую строчку записываются (по порядку) числа  1, 2, ..., n.  Доказать, что после заполнения таблицы в каждом столбце будут написаны все числа от 1 до n.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 78548

Темы:   [ Процессы и операции ] [ Разбиения на пары и группы; биекции ] [ Перестановки и подстановки (прочее) ] [ Принцип Дирихле (прочее) ]

Сложность: 5- Классы: 9,10,11

При дворе короля Артура собрались 2n рыцарей, причём каждый из них имеет среди присутствующих не более  n – 1  врага.
Доказать, что Мерлин, советник Артура, может так рассадить рыцарей за круглым столом, что ни один из них не будет сидеть рядом со своим врагом.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 115409

Темы:   [ Обход графов ] [ Индукция (прочее) ] [ Перестановки и подстановки (прочее) ]

Сложность: 5- Классы: 9,10,11

  В королевстве N городов, некоторые пары которых соединены непересекающимися дорогами с двусторонним движением (города из такой пары называются соседними). При этом известно, что из каждого города можно доехать до любого другого, но невозможно, выехав из некоторого города и двигаясь по различным дорогам, вернуться в исходный город.
  Однажды Король провел такую реформу: каждый из N мэров городов стал снова мэром одного из N городов, но, возможно, не того города, в котором он работал до реформы. Оказалось, что каждые два мэра, работавшие в соседних городах до реформы, оказались в соседних городах и после реформы. Докажите, что либо найдётся город, в котором мэр после реформы не поменялся, либо найдётся пара соседних городов, обменявшихся мэрами.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 35628

Темы:   [ Задачи с ограничениями ] [ Правило произведения ] [ Сочетания и размещения ] [ Перестановки и подстановки (прочее) ]

Сложность: 2+ Классы: 9,10

Сколькими способами можно составить расписание первого тура чемпионата России по футболу, в котором играет 16 команд? (Является важным, кто хозяин поля.)

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 35779

Темы:   [ Отношение порядка ] [ Парадоксы ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ] [ Перестановки и подстановки (прочее) ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Три бегуна А, Б, В несколько раз совершили забег на 100 метров. При подведении результатов оказалось, что А обогнал Б больше, чем в половине забегов, Б обогнал В больше, чем в половине забегов, а В обогнал А больше, чем в половине забегов. Могло ли это случиться?

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 7 8 9 10 11 12 13 >> [Всего задач: 61]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями