Тема:
Все темы
>>
Комбинаторика
>>
Классическая комбинаторика
>>
Перестановки и подстановки
>>
Перестановки и подстановки (прочее)
Фильтр
Выбрано 13 задач Убрать все задачи
В треугольнике ABC сторона BC равна полусумме двух других сторон. Через точку A и середины B', C' сторон AB и AC проведена окружность Ω и к ней из центра тяжести треугольника проведены касательные. Доказать, что одна из точек касания является центром I вписанной окружности треугольника ABC.
В угол вписаны три окружности Γ1, Γ2, Γ3 (радиус Γ1 наименьший, а радиус Γ3 наибольший), притом Γ2 касается Γ1 и Γ3 в точках A и B соответственно. Пусть l – касательная в точке A к Γ1. Рассмотрим все окружности ω, касающиеся Γ1 и l. Найдите геометрическое место точек пересечения общих внутренних касательных к парам окружностей ω и Γ3.
Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Лучи BA и CD пересекаются в точке P. Прямая, проходящая через P и параллельная касательной к окружности в точке D, пересекает в точках U и V касательные, проведённые к окружности в точках A и B. Докажите, что окружности, описанные около треугольника CUV и четырёхугольника ABCD, касаются.
Из одной точки окружности проведены две хорды, равные 9 и 17. Найдите радиус окружности, если расстояние между серединами данных хорд равно 5.
Докажите, что любой прямоугольник можно разрезать на части и
сложить из них прямоугольник со стороной 1.
Из высот остроугольного треугольника можно составить треугольник. Докажите, что из его биссектрис тоже можно составить треугольник.
Квадрат разбит на n² ≥ 4 прямоугольников 2(n – 1) прямыми, из которых n – 1 параллельны одной стороне квадрата, а остальные n – 1 – другой. Докажите, что можно выбрать 2n прямоугольников разбиения таким образом, что для каждых двух выбранных прямоугольников один из них можно поместить в другой (возможно, предварительно повернув).
Две окружности пересекаются в точках A и B. Через точку A проведены диаметры AC и AD этих окружностей. Найдите сумму отрезков BC и BD, если расстояние между центрами окружностей равно a, а центры окружностей лежат по разные стороны от общей хорды AB.
Правильный треугольник со стороной 1 разрезан произвольным образом на равносторонние треугольники, в каждый из которых вписан круг.
Найдите сумму площадей этих кругов.
Точка M лежит на описанной окружности
треугольника ABC; R — произвольная точка. Прямые AR, BR и CR
пересекают описанную окружность в точках A1, B1 и C1. Докажите,
что точки пересечения прямых MA1 и BC, MB1 и CA, MC1
и AB лежат на одной прямой, проходящей через точку R.
Окружность SA проходит через точки A и C; окружность
SB проходит через точки B и C; центры обеих окружностей
лежат на прямой AB. Окружность S касается окружностей SA
и SB, а кроме того, она касается отрезка AB в точке C1.
Докажите, что CC1 — биссектриса треугольника ABC.
Даны точки
A1,..., An. Рассмотрим окружность
радиуса R, содержащую некоторые из них. Построим затем
окружность радиуса R с центром в центре масс точек,
лежащих внутри первой окружности, и т. д. Докажите, что
этот процесс остановится, т. е. окружности начнут совпадать.
Сколькими способами можно составить расписание первого тура чемпионата России по футболу, в котором играет 16 команд? (Является важным, кто хозяин поля.)
Задачи Страница: << 7 8 9 10 11 12 13 >> [Всего задач: 61]
Задача 78628 |
|
|
Дана таблица n×n клеток и такие натуральные числа k и m > k, что m и n – k взаимно просты. Таблица заполняется следующим образом: пусть в некоторой строчке записаны числа a1, ..., ak, ak+1, ..., am, am+1, ..., an. Тогда в следующей строчке записываются те же числа, но в таком порядке: am+1, ..., an, ak+1, ..., am, a1, ..., ak. В первую строчку записываются (по порядку) числа 1, 2, ..., n. Доказать, что после заполнения таблицы в каждом столбце будут написаны все числа от 1 до n.
|
|
Решение |
Задача 78548 |
|
|
При дворе короля Артура собрались 2n рыцарей, причём каждый из них имеет
среди присутствующих не более n – 1 врага.
Доказать, что Мерлин, советник Артура, может так рассадить рыцарей за круглым столом, что ни один из них не будет сидеть рядом со своим врагом.
|
|
|
Решение |
Задача 115409 |
|
|
В королевстве N городов, некоторые пары которых соединены непересекающимися дорогами с двусторонним движением (города из такой пары называются соседними). При этом известно, что из каждого города можно доехать до любого другого, но невозможно, выехав из некоторого города и двигаясь по различным дорогам, вернуться в исходный город.
Однажды Король провел такую реформу: каждый из N мэров городов стал снова мэром одного из N городов, но, возможно, не того города, в котором он работал до реформы. Оказалось, что каждые два мэра, работавшие в соседних городах до реформы, оказались в соседних городах и после реформы. Докажите, что либо найдётся город, в котором мэр после реформы не поменялся, либо найдётся пара соседних городов, обменявшихся мэрами.
|
|
|
Решение |
Задача 35628 |
|
|
Сколькими способами можно составить расписание первого тура чемпионата России по футболу, в котором играет 16 команд? (Является важным, кто хозяин поля.)
|
|
Решение |
Задача 35779 |
|
|
Три бегуна А, Б, В несколько раз совершили забег на 100 метров. При подведении результатов оказалось, что А обогнал Б больше, чем в половине забегов, Б обогнал В больше, чем в половине забегов, а В обогнал А больше, чем в половине забегов. Могло ли это случиться?
|
|
|
Решение |
Страница: << 7 8 9 10 11 12 13 >> [Всего задач: 61]
