Дан треугольник ABC. Найдите на прямой AB точку M, для которой сумма радиусов описанных окружностей треугольников ACM и BCM была бы наименьшей.

   Решение

Дан угол XAY. Концы B и C отрезков BO и CO длиной 1 перемещаются по лучам AX и AY. Постройте четырехугольник ABOC наибольшей площади.

   Решение

Было семь ящиков. В некоторые из них положили еще по семь ящиков (не вложенных друг в друга) и т. д. В итоге стало 10 непустых ящиков.
Сколько всего стало ящиков?

   Решение

Дан угол XAY и точка O внутри его. Проведите через точку O прямую, отсекающую от данного угла треугольник наименьшей площади.

   Решение

Доказать, что  n³ + 5n  делится на 6 при любом целом n.

   Решение

Может ли прямая, не содержащая вершин замкнутой 11-звенной ломаной, пересекать все её звенья?

   Решение

Среди всех решений системы
    x² + y² = 4,
    z² + t² = 9,
    xt + yz = 6
выберите те, для которых величина  x + z  принимает наибольшее значение.

   Решение

Дан равнобедренный треугольник ABC с вершиной A. Длина прыжка кузнечика равна основанию BC. Известно, что начиная движение из точки C, кузнечик за 22 прыжка оказался в точке A, приземляясь после каждого прыжка на боковой стороне треугольника ABC и чередуя стороны при каждом прыжке, кроме последнего. Найдите углы треугольника ABC, если известно, что с каждым прыжком кузнечик приближался к точке A.

   Решение

На стороне AD квадрата ABCD во внутреннюю сторону построен тупоугольный равнобедренный треугольник AED. Вокруг него описана окружность и проведён её диаметр AF, на стороне CD выбрана точка G так, что  CG = DF.  Докажите, что угол BGE меньше половины угла AED.

   Решение

Докажите, что сумма квадратов длин проекций сторон правильного n-угольника на любую прямую равна  ½ na²,  где a – сторона n-угольника.

   Решение

На плоскости отмечена точка O. Можно ли так расположить на плоскости:  а) 5 кругов;   б) 4 круга, не покрывающих точку O, чтобы каждый луч с началом в точке O пересекал не менее двух кругов?

   Решение

В прямоугольном треугольнике ABC с катетами AB = 3 и BC = 4 через середины сторон AB и AC проведена окружность, касающаяся катета BC. Найдите длину отрезка гипотенузы AC, который лежит внутри этой окружности.

   Решение

Страница: << 29 30 31 32 33 34 35 >> [Всего задач: 330]      

Окружность касается двух параллельных прямых l и m в точках A и B соответственно; CD — диаметр окружности, параллельный этим прямым. Прямая BC пересекает прямую l в точке E, а прямая ED — прямую m в точке F. Найдите углы треугольника BEF.

Прислать комментарий

Решение

В прямоугольном треугольнике ABC с катетами AB = 3 и BC = 4 через середины сторон AB и AC проведена окружность, касающаяся катета BC. Найдите длину отрезка гипотенузы AC, который лежит внутри этой окружности.

Прислать комментарий

Решение

Докажите, что медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся ею в отношении 2:1, считая от вершины треугольника.

Прислать комментарий

Решение

Две окружности пересекаются в точках A и B. Через точку A проведены диаметры AC и AD этих окружностей. Найдите модуль разности отрезков BC и BD, если расстояние между центрами окружностей равно a, а центры окружностей лежат по одну сторону от общей хорды AB.

Прислать комментарий

Решение

Постройте треугольник по высоте и медиане, проведённым из одной вершины, и высоте, проведённой из другой вершины.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 29 30 31 32 33 34 35 >> [Всего задач: 330]