Тема:
Все темы
>>
Геометрия
>>
Планиметрия
>>
Четырехугольники
>>
Вписанные четырехугольники
>>
Теорема Птолемея
Фильтр
Выбрано 6 задач Убрать все задачи
Докажите, что из боковых граней четырёхугольной пирамиды, основанием которой служит параллелограмм, можно составить треугольную пирамиду, причём её объём вдвое меньше объёма исходной четырёхугольной пирамиды.
Окружность, проходящая через вершины $B$ и $D$ четырехугольника $ABCD$, пересекает его стороны $AB$, $BC$, $CD$ и $DA$ в точках $K$, $L$, $M$ и $N$ соответственно. Окружность, проходящая через точки $K$ и $M$, пересекает прямую $AC$ в точках $P$ и $Q$. Докажите, что точки $L$, $N$, $P$ и $Q$ лежат на одной окружности.
а) На сторонах BC, CA и AB треугольника ABC
(или на их продолжениях) взяты точки A1, B1 и C1, отличные
от вершин треугольника. Докажите, что описанные окружности
треугольников
AB1C1, A1BC1 и A1B1C пересекаются
в одной точке.
б) Точки A1, B1 и C1 перемещаются по прямым BC, CA
и AB так, что все треугольники A1B1C1 подобны одному
и тому же треугольнику. Докажите, что точка пересечения
описанных окружностей треугольников
AB1C1, A1BC1 и A1B1C
остается при этом неподвижной. (Треугольники предполагаются
не только подобными, но и одинаково ориентированными.)
В треугольник, у которого основание равно 30, а высота – 10, вписан прямоугольный равнобедренный треугольник так, что его гипотенуза параллельна основанию данного треугольника, а вершина прямого угла лежит на этом основании. Найдите гипотенузу.
Докажите, что площадь проекции куба с ребром 1 на любую плоскость численно равна длине его проекции на прямую, перпендикулярную этой плоскости.
Докажите, что если четырёхугольник вписан в окружность, то сумма произведений длин двух пар его противоположных сторон равна произведению длин его диагоналей.
Задачи Страница: 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 35]
Задача 52468[Теорема Птолемея] |
|
Докажите, что если четырёхугольник вписан в окружность, то сумма произведений длин двух пар его противоположных сторон равна произведению длин его диагоналей.
|
|
Решение |
Задача 78546 |
|
В треугольнике ABC сторона BC равна полусумме двух других сторон. Через точку A и середины B', C' сторон AB и AC проведена окружность Ω и к ней из центра тяжести треугольника проведены касательные. Доказать, что одна из точек касания является центром I вписанной окружности треугольника ABC.
|
|
Решение |
Задача 78539 |
|
|
В треугольнике ABC сторона BC равна полусумме двух других сторон. Доказать, что биссектриса угла A перпендикулярна отрезку, соединяющему центры вписанной и описанной окружностей треугольника.
|
|
|
Решение |
Задача 78543 |
|
|
Дан треугольник ABC, причём сторона BC равна полусумме двух других сторон. Доказать, что в таком треугольнике вершина A, середины сторон AB и AC и центры вписанной и описанной окружностей лежат на одной окружности (сравните с задачей 4 для 9 класса).
|
|
|
Решение |
Задача 55464 |
|
|
Пусть A1A2...An – правильный многоугольник с нечётным числом сторон, M – произвольная точка на дуге A1An окружности, описанной около многоугольника. Докажите, что сумма расстояний от точки M до вершин с нечётными номерами равна сумме расстояний от M до вершин с чётными номерами.
|
|
|
Решение |
Страница: 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 35]
