Loading [Contrib]/a11y/accessibility-menu.js
ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 8 задач
Версия для печати
Убрать все задачи

а)  sin$ \alpha$sin$ \beta$sin$ \gamma$ $ \leq$ 3$ \sqrt{3}$/8;
б)  cos($ \alpha$/2)cos($ \beta$/2)cos($ \gamma$/2) $ \leq$ 3$ \sqrt{3}$/8.

Вниз   Решение


При каких целых значениях m число Р = 1 + 2m + 3m2 + 4m3 + 5m4 + 4m5 + 3m6 + 2m7 + m8 является квадратом целого числа?

ВверхВниз   Решение


Автор: Ивлев Б.М.

Каждая из девяти прямых разбивает квадрат на два четырёхугольника, площади которых относятся как 2 : 3. Докажите, что по крайней мере три из этих девяти прямых проходят через одну точку.

ВверхВниз   Решение


Высоты AA1 и BB1 треугольника ABC пересекаются в точке H. Прямая CH пересекает полуокружность с диаметром AB, проходящую через точки A1 и B1, в точке D. Отрезки AD и BB1 пересекаются в точке M, BD и AA1 – в точке N. Докажите, что описанные окружности треугольников B1DM и A1DN касаются.

ВверхВниз   Решение


На основаниях трапеции как на сторонах построены во внешнюю сторону два квадрата. Докажите, что отрезок, соединяющий центры квадратов, проходит через точку пересечения диагоналей трапеции.

ВверхВниз   Решение


Дан прямоугольный треугольник. Впишите в него прямоугольник с общим прямым углом, у которого диагональ минимальна.

ВверхВниз   Решение


В корзине лежало не более 70 грибов, среди которых 52% – белые. Если выкинуть три самых маленьких гриба, то белых станет половина.
Сколько грибов в корзине?

ВверхВниз   Решение


На сторонах AB и AC треугольника ABC взяты соответственно точки M и N, причём  MN || BC.  На отрезке MN взята точка P, причём  MP = 1/3 MN.  Прямая AP пересекает сторону BC в точке Q. Докажите, что  BQ = 1/3 BC.

Вверх   Решение

Задачи

Страница: 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 225]      



Задача 53773

Тема:   [ Гомотетия помогает решить задачу ]
Сложность: 3
Классы: 8,9

На сторонах AB и AC треугольника ABC взяты соответственно точки M и N, причём  MN || BC.  На отрезке MN взята точка P, причём  MP = 1/3 MN.  Прямая AP пересекает сторону BC в точке Q. Докажите, что  BQ = 1/3 BC.

Прислать комментарий     Решение

Задача 108001

Темы:   [ Гомотетия помогает решить задачу ]
[ Свойства медиан. Центр тяжести треугольника. ]
[ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ]
Сложность: 3
Классы: 8,9

Внутри квадрата ABCD взята точка M. Докажите, что точки пересечения медиан треугольников  ABM, BCM, CDM и DAM образуют квадрат.

Прислать комментарий     Решение

Задача 108004

Темы:   [ Гомотетия помогает решить задачу ]
[ Свойства медиан. Центр тяжести треугольника. ]
[ Три прямые, пересекающиеся в одной точке ]
[ Свойства биссектрис, конкуррентность ]
[ Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие ]
Сложность: 3
Классы: 8,9

Докажите, что три прямые, проведённые через середины сторон треугольника параллельно биссектрисам противолежащих углов, пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий     Решение

Задача 108664

Темы:   [ Гомотетия помогает решить задачу ]
[ Вспомогательная окружность ]
[ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]
Сложность: 3
Классы: 8,9

Точки K и L на сторонах соответственно AB и AC остроугольного треугольника ABC таковы, что KL || BC ; M – точка пересечения перпендикуляров, восставленных в точках K и L к отрезкам AB и AC . Докажите, что точки A , M и центр O описанной окружности треугольника ABC лежат на одной прямой.
Прислать комментарий     Решение


Задача 55761

Темы:   [ Гомотетия помогает решить задачу ]
[ Свойства симметрии и центра симметрии ]
[ Средняя линия треугольника ]
[ Параллелограмм Вариньона ]
[ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9

Докажите, что точки, симметричные произвольной точке относительно середин сторон квадрата, являются вершинами некоторого квадрата.

Прислать комментарий     Решение


Страница: 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 225]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .