Точка O лежит на диагонали AC выпуклого четырёхугольника ABCD. Известно, что  OC = OD  и что точка O одинаково удалена от прямых DA, AB и BC. Найдите углы четырёхугольника, если  ∠AOB = 110°  и ∠COD = 90°.

   Решение

Через точку пересечения биссектрисы угла A треугольника ABC и отрезка, соединяющего основания двух других биссектрис, проведена прямая, параллельная стороне BC. Докажите, что меньшее основание образовавшейся трапеции равно полусумме её боковых сторон.

   Решение

Страница: << 64 65 66 67 68 69 70 >> [Всего задач: 1005]      

Хорды AB и CD пересекаются в точке E внутри окружности. Пусть M – внутренняя точка отрезка BE. Касательная в точке E к описанной окружности треугольника DEM, пересекает прямые BC и AC в точках F и G соответственно. Пусть   ^AM/_AB = t.  Найдите  ^BG/_EF.

Прислать комментарий

Решение

На стороне AB параллелограмма ABCD расположена точка K, на продолжении стороны CD за точку D – точка L. Прямые KD и BL пересекаются в точке N, а прямые LA и CK – в точке M. Докажите, что  MN || AD.

Прислать комментарий

Решение

Каждая сторона выпуклого четырёхугольника разделена на три равные части. Соответствующие точки деления на противоположных сторонах соединены отрезками (cм. рис.). Докажите, что эти отрезки делят друг друга на три равные части.

Прислать комментарий

Решение

Через точку пересечения биссектрисы угла A треугольника ABC и отрезка, соединяющего основания двух других биссектрис, проведена прямая, параллельная стороне BC. Докажите, что меньшее основание образовавшейся трапеции равно полусумме её боковых сторон.

Прислать комментарий

Решение

а) На сторонах AB и AC треугольника ABC внешним образом построены прямоугольные треугольники ABC₁ и AB₁C, причём  ∠C₁ = ∠B₁ = 90°,
∠ABC₁ = ∠ACB₁ = φ,  M – середина BC. Докажите, что  MB₁ = MC₁ и  ∠B₁MC₁ = 2φ.

б) На сторонах треугольника ABC внешним образом построены правильные треугольники. Докажите, что их центры образуют правильный треугольник, причём его центр совпадает с точкой пересечения медиан треугольника ABC.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 64 65 66 67 68 69 70 >> [Всего задач: 1005]