Окружность радиуса R, построенная на большем основании AD трапеции ABCD как на диаметре, касается меньшего основания BC в точке C, а боковой стороны AB — в точке A. Найдите диагонали трапеции.

   Решение

Найдите сторону квадрата, вписанного в окружность, если известно, что хорда этой окружности, равная 2, удалена от её центра на расстояние, равное 3.

   Решение

Докажите неравенство Коши для пяти чисел, то есть докажите, что при   a, b, c , d e ≥ 0 имеет место неравенство

   Решение

Пусть I – центр вписанной окружности треугольника ABC, M, N – середины дуг ABC и BAC описанной окружности.
Докажите, что точки M, I, N лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда  AC + BC = 3AB.

   Решение

Докажите, что предпоследняя цифра степени тройки всегда чётна.

   Решение

В трапеции большее основание равно 5, одна из боковых сторон равна 3. Известно, что одна из диагоналей перпендикулярна заданной боковой стороне, а другая делит угол между заданной боковой стороной и основанием пополам. Найдите площадь трапеции.

   Решение

Докажите, что средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

   Решение

Страница: << 31 32 33 34 35 36 37 >> [Всего задач: 207]      

Через точку O пересечения биссектрис треугольника ABC проведены прямые, параллельные его сторонам. Прямая, параллельная AB, пересекает AC и BC в точках M и N, а прямые, параллельные AC и BC, пересекают AB в точках P и Q. Докажите, что  MN = AM + BN  и периметр треугольника OPQ равен длине отрезка AB.

Прислать комментарий

Решение

В треугольнике ABC на сторонах AB, AC и BC выбраны точки D, E и F соответственно так, что  BF = 2CF,  CE = 2AE  и угол DEF – прямой.
Докажите, что DE – биссектриса угла ADF.

Прислать комментарий

Решение

На стороне AB выпуклого четырёхугольника ABCD взяты точки K и L (точкаK лежит между A и L), а на стороне CD взяты точки M и N (точка M между C и N). Известно, что  AK = KN = DN  и  BL = BC = CM.  Докажите, что если BCNK – вписанный четырёхугольник, то и ADML тоже вписан.

Прислать комментарий

Решение

На сторонах AB, BC, CD, DA прямоугольника ABCD взяты соответственно точки K, L, M, N, отличные от вершин. Известно, что   KL || MN  и
KM ⊥ NL.  Докажите, что точка пересечения отрезков KM и LN лежит на диагонали BD прямоугольника.

Прислать комментарий

Решение

Докажите, что средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 31 32 33 34 35 36 37 >> [Всего задач: 207]