Фильтр
Выбрано 10 задач Убрать все задачи
Можно ли множество всех натуральных чисел, больших 1, разбить на два непустых подмножества так, чтобы для каждых двух чисел a и b из одного множества число ab – 1 принадлежало другому?
Лесник считал сосны в лесу. Он обошёл 5 кругов, изображённых на рисунке, и внутри каждого круга насчитал ровно 3 сосны.
Может ли быть, что лесник ни разу не ошибся?
Внутри выпуклого 2n-угольника взята точка P.
Через каждую вершину и точку P проведена прямая.
Докажите, что найдется сторона 2n-угольника, с которой
ни одна из проведенных прямых не имеет общих внутренних точек.
Доказать, что произведение двух последовательных натуральных чисел не является степенью никакого целого числа.
Какое наименьшее число точек достаточно отметить
внутри выпуклого n-угольника, чтобы внутри любого треугольника
с вершинами в вершинах n-угольника содержалась
хотя бы одна отмеченная точка?
200 учеников выстроены прямоугольником по 10 человек в каждом поперечном ряду и по 20 человек в каждом продольном ряду. В каждом продольном ряду выбран самый высокий ученик, а затем из отобранных 10 человек выбран самый низкий. С другой стороны, в каждом поперечном ряду выбран самый низкий ученик, а затем среди отобранных 20 выбран самый высокий. Кто из двоих окажется выше?
В треугольнике со сторонами a, b и c проведены биссектрисы,
точки пересечения которых с противолежащими сторонами являются
вершинами второго треугольника. Докажите, что отношение площадей
этих треугольников равно
.
Даны три действительных числа: a, b и c. Известно, что a + b + c > 0, ab + bc + ca > 0, abc > 0. Докажите, что a > 0, b > 0 и c > 0.
Двадцать городов соединены 172 авиалиниями.
Доказать, что, используя эти авиалинии, можно из любого города перелететь в любой другой (быть может, делая пересадки).
В трапеции ABCD AD || BC) угол ADB в два раза меньше угла ACB. Известно, что BC = AC = 5 и AD = 6. Найдите площадь трапеции.
Задачи Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 289]
Задача 54332 |
|
|
В трапеции ABCD AD || BC) угол ADB в два раза меньше угла ACB. Известно, что BC = AC = 5 и AD = 6. Найдите площадь трапеции.
|
|
Решение |
Задача 55402 |
|
|
Вершины B и C треугольника ABC с прямым углом A скользят по сторонам прямого угла с вершиной P. Найдите геометрическое место вершин A, если точки P и A лежат:
а) по разные стороны от прямой BC;
б) по одну сторону от прямой BC.
|
|
Решение |
Задача 55545 |
|
|
Пусть CM – медиана треугольника ABC. Известно, что ∠A + ∠MCB = 90°. Докажите, что треугольник ABC – равнобедренный или прямоугольный.
|
|
|
Решение |
Задача 55546 |
|
|
В остроугольном треугольнике ABC угол B равен 60o, AM и CN — его высоты, а Q — середина стороны AC. Докажите, что треугольник MNQ — равносторонний.
|
|
|
Решение |
Задача 108008 |
|
|
AK – биссектриса треугольника ABC, P и Q – точки на двух других биссектрисах (или на их продолжениях) такие, что PA = PK и QA = QK.
Докажите, что ∠PAQ = 90° – ½ ∠A.
|
|
|
Решение |
Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 289]
