ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрана 1 задача
Версия для печати
Убрать все задачи

Четырёхугольник ABCD таков, что в него можно вписать и около него можно описать окружности. Разность сторон AD и BC равна разности сторон AB и CD. Докажите, что диагональ AC — диаметр описанной окружности.

   Решение

Задачи

Страница: << 10 11 12 13 14 15 16 >> [Всего задач: 372]      



Задача 54838

Темы:   [ Вписанные четырехугольники (прочее) ]
[ Описанные четырехугольники ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9

Четырёхугольник ABCD таков, что в него можно вписать и около него можно описать окружности. Разность сторон AD и BC равна разности сторон AB и CD. Докажите, что диагональ AC — диаметр описанной окружности.

Прислать комментарий     Решение


Задача 67103

Темы:   [ Вписанные четырехугольники (прочее) ]
[ Прямые, касающиеся окружностей (прочее) ]
[ Две касательные, проведенные из одной точки ]
[ Теорема синусов ]
Сложность: 3+
Классы: 9,10,11

Во вписанном четырехугольнике $ABCD$ произведения противоположных сторон равны. Точка $B'$ симметрична $B$ относительно прямой $AC$. Докажите, что окружность, проходящая через точки $A$, $B'$, $D$, касается прямой $AC$.
Прислать комментарий     Решение


Задача 67113

Темы:   [ Вписанные четырехугольники (прочее) ]
[ Вспомогательные подобные треугольники ]
[ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ]
[ Вспомогательные равные треугольники ]
[ Площадь фигуры равна сумме площадей фигур, на которые она разбита ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10,11

Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность с центром $O$. Пусть $P$ – точка пересечения его диагоналей, а точки $M$ и $N$ – середины сторон $AB$ и $CD$ соответственно. Окружность $OPM$ вторично пересекает отрезки $AP$ и $BP$ в точках $A_1$ и $B_1$ соответственно, а окружность $OPN$ вторично пересекает отрезки $CP$ и $DP$ в точках $C_1$ и $D_1$ соответственно. Докажите, что площади четырёхугольников $AA_1B_1B$ и $CC_1D_1D$ равны.
Прислать комментарий     Решение


Задача 108518

Темы:   [ Вписанные четырехугольники (прочее) ]
[ Отношение площадей подобных треугольников ]
[ Отношение площадей треугольников с общим основанием или общей высотой ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9

Окружность, пересекающая боковые стороны AC и CB равнобедренного треугольника ACB соответственно в точках P и Q, является описанной около треугольника ABQ. Отрезки AQ и BP пересекаются в точке D так, что AQ : AD = 4 : 3. Найдите площадь треугольника DQB, если площадь треугольника PQC равна 3.

Прислать комментарий     Решение


Задача 108519

Темы:   [ Вписанные четырехугольники (прочее) ]
[ Отношение площадей подобных треугольников ]
[ Отношение площадей треугольников с общим основанием или общей высотой ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9

Площадь равнобедренного треугольника PQR равна 12. На боковых сторонах PQ и RQ взяты соответственно точки B и C так, что вокруг четырёхугольника PBCQ можно описать окружность и PQ : BC = 3 : 2. Найдите площадь треугольника APQ, где A — точка пересечения отрезков PC и BQ.

Прислать комментарий     Решение


Страница: << 10 11 12 13 14 15 16 >> [Всего задач: 372]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .