Три гнома живут в разных домах на плоскости и ходят со скоростями 1, 2 и 3 км/ч соответственно. Какое место для ежедневных встреч нужно им выбрать, чтобы сумма времён, необходимых каждому из гномов на путь от своего дома до этого места (по прямой), была наименьшей?

   Решение

Доказать, что число штатов США с нечётным числом соседей чётно.

   Решение

На катете BC прямоугольного треугольника ABC как на диаметре построена окружность, пересекающая гипотенузу в точке D так, что AD : DB = 1 : 4. Найдите высоту, опущенную из вершины C прямого угла на гипотенузу, если известно, что катет BC равен 10.

   Решение

Было семь ящиков. В некоторые из них положили еще по семь ящиков (не вложенных друг в друга) и т. д. В итоге стало 10 непустых ящиков.
Сколько всего стало ящиков?

   Решение

Хорда окружности пересекает некоторый диаметр под углом, равным 30°, и делит его на отрезки, равные a и b. Найдите расстояние от центра окружности до этой хорды.

   Решение

У треугольника известны стороны  a = 2,  b = 3  и площадь  S = .  Медиана, проведённая к его третьей стороне, меньше её половины.
Найдите радиус описанной окружности этого треугольника .

   Решение

Угол при вершине равнобедренного треугольника равен 40^o. Одна из боковых сторон служит диаметром полуокружности, которая делится другими сторонами на три части. Найдите эти части.

   Решение

Окружность с центром, расположенным внутри прямого угла, касается одной стороны угла, пересекает другую сторону в точках A и B и биссектрису угла в точках C и D.  AB = ,  CD = .  Найдите радиус окружности.

   Решение

В треугольнике ABC проведены высоты AA₁, BB₁ и CC₁. Пусть  A₁A₂, B₁B₂ и C₁C₂ — диаметры окружности девяти точек треугольника ABC. Докажите, что прямые AA₂, BB₂ и CC₂ пересекаются в одной точке (или параллельны).

   Решение

В остроугольном неравнобедренном треугольнике ABC высоты CC₁ и BB₁ пересекают прямую, проходящую через вершину A и параллельную прямой BC, в точках P и Q. Пусть A₀ – середина стороны BC, а AA₁ – высота. Прямые A₀C₁ и A₀B₁ пересекают прямую PQ в точках K и L. Докажите, что описанные окружности треугольников PQA₁, KLA₀, A₁B₁C₁ и окружность с диаметром AA₁ пересекаются в одной точке.

   Решение

Таня последовательно выписывала числа вида ${n^7-1}$ для натуральных чисел $n=2,3,\ldots$ и заметила, что при $n=8$ полученное число делится на 337. А при каком наименьшем $n\gt 1$ она получит число, делящееся на 2022?

   Решение

Докажите, что прямая, проходящая через точки пересечения двух окружностей, делит пополам общую касательную к ним.

   Решение

Решить в целых числах уравнение  x + y = x² – xy + y².

   Решение

Прямая, проходящая через вершину B треугольника ABC, пересекает сторону AC в точке K, а описанную окружность в точке M.
Найдите геометрическое место центров описанных окружностей треугольников AMK.

   Решение

Существуют ли 11 последовательных натуральных чисел, сумма которых равна точному кубу?

   Решение

Вписанная окружность треугольника ABC касается его сторон в точках A', B' и C'. Известно, что ортоцентры треугольников ABC и A'B'C' совпадают. Верно ли, что треугольник ABC – правильный?

   Решение

С помощью циркуля и линейки постройте параллелограмм по отношению диагоналей, углу между диагоналями и стороне.

   Решение

Сколько в выпуклом многоугольнике может быть сторон, равных по длине наибольшей диагонали?

   Решение

На продолжении хорды KL окружности с центром O взята точка A, и из неё проведены касательные AP и AQ (P и Q – точки касания); M – середина отрезка PQ. Докажите, что  ∠MKO = ∠MLO.

   Решение

Может ли выпуклый неправильный пятиугольник иметь ровно четыре стороны одинаковой длины и ровно четыре диагонали одинаковой длины?
Может ли в таком пятиугольнике пятая сторона иметь общую точку с пятой диагональю?

   Решение

а) Окружности S₁ и S₂ пересекаются в точках A и B. Степень точки P окружности S₁ относительно окружности S₂ равна p, расстояние от точки P до прямой AB равно h, а расстояние между центрами окружностей равно d. Докажите, что | p| = 2dh.
б) Степени точек A и B относительно описанных окружностей треугольников BCD и ACD равны p_a и p_b. Докажите, что  | p_a| S_BCD = | p_b| S_ACD.

   Решение

Через точку P, лежащую на общей хорде двух пересекающихся окружностей, проведены хорда KM первой окружности и хорда LN второй окружности.
Докажите, что четырёхугольник KLMN вписанный.

   Решение

Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 401]      

Через точку P, лежащую на общей хорде двух пересекающихся окружностей, проведены хорда KM первой окружности и хорда LN второй окружности.
Докажите, что четырёхугольник KLMN вписанный.

Прислать комментарий

Решение

На продолжении хорды KL окружности с центром O взята точка A, и из неё проведены касательные AP и AQ (P и Q – точки касания); M – середина отрезка PQ. Докажите, что  ∠MKO = ∠MLO.

Прислать комментарий

Решение

Через точку P, лежащую на общей хорде AB двух пересекающихся окружностей, проведены хорда KM первой окружности и хорда LN второй окружности. Докажите, что четырехугольник KLMN вписанный.

Прислать комментарий

Решение

В параллелограмме ABCD диагональ AC больше диагонали BD; M — такая точка диагонали AC, что четырехугольник BCDM вписанный. Докажите, что прямая BD является общей касательной к описанным окружностям треугольников ABM и ADM.

Прислать комментарий

Решение

Окружность пересекает оси координат в точках  А(a, 0),  B(b, 0)  C(0, c)  и  D(0, d).  Найдите координаты её центра.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 401]