Прямая пересекает отрезок $AB$ в точке $C$. Какое максимальное число точек $X$ может найтись на этой прямой так, чтобы один из углов $AXC$ и $BXC$ был в два раза больше другого?

   Решение

Вася и Петя играют в следующую игру. На доске написаны два числа: ¹/₂₀₀₉ и ¹/₂₀₀₈. На каждом ходу Вася называет любое число x, а Петя увеличивает одно из чисел на доске (какое захочет) на x. Вася выигрывает, если в какой-то момент одно из чисел на доске станет равным 1. Сможет ли Вася выиграть, как бы ни действовал Петя?

   Решение

На доске написано число 1. Если на доске написано число а, его можно заменить любым числом вида  a + d,  где d взаимно просто с а и  10 ≤ d ≤ 20.
Можно ли через несколько таких операций получить на доске число 18! ?

   Решение

Две окружности пересекаются в точках A и B. Их общая касательная (та, которая ближе к точке B) касается окружностей в точках E и F. Прямая AB пересекает прямую EF в точке M. На продолжении AM за точку M выбрана точка K так, что  KM = MA.  Прямая KE вторично пересекает окружность, содержащую точку E, в точке C. Прямая KF вторично пересекает окружность, содержащую точку F, в точке D. Докажите, что точки C, D и A лежат на одной прямой.

   Решение

Докажите, что каждая сторона треугольника видна из центра вписанной окружности под тупым углом.

   Решение

На доске написано выражение  ,  где a, b, c, d, e, f – натуральные числа. Если число a увеличить на 1, то значение этого выражения увеличится на 3. Если в исходном выражении увеличить число c на 1, то его значение увеличится на 4; если же в исходном выражении увеличить число e на 1, то его значение увеличится на 5. Какое наименьшее значение может иметь произведение bdf?

   Решение

В параллелограмме KLMN сторона KL равна 8. Окружность, касающаяся сторон NK и NM, проходит через точку L и пересекает стороны KL и ML в точках C и D соответственно. Известно, что KC : LC = 4 : 5 и LD : MD = 8 : 1. Найдите сторону KN.

   Решение

Сфера ω проходит через вершину S пирамиды SABC и пересекает рёбра SA, SB и SC вторично в точках A₁, B₁ и C₁ соответственно. Сфера Ω, описанная около пирамиды SABC, пересекается с ω по окружности, лежащей в плоскости, параллельной плоскости (ABC). Точки A₂, B₂ и C₂ симметричны точкам A₁, B₁ и C₁ относительно середин рёбер SA, SB и SC соответственно. Докажите, что точки A, B, C, A₂, B₂ и C₂ лежат на одной сфере.

   Решение

По круговой дорожке стадиона длиной 400 метров из одной точки в одном направлении выбегают три спортсмена с постоянными скоростями 12 км/ч,
15 км/ч и 17 км/ч. Через какое наименьшее время спортсмены поравняются?

   Решение

Окружность касается стороны BC треугольника ABC в точке M, а продолжений сторон AB и AC — в точках P и Q соответственно. Вписанная окружность треугольника ABC касается стороны BC в точке K, а стороны AB — в точке L. Докажите, что:

а) отрезок AP равен полупериметру p треугольника ABC;

б) BM = CK;

в) BC = PL.

   Решение

Страница: << 20 21 22 23 24 25 26 >> [Всего задач: 213]      

Докажите, что каждая сторона треугольника видна из центра вписанной окружности под тупым углом.

Прислать комментарий

Решение

С помощью циркуля и линейки постройте треугольник по радиусу описанной окружности, стороне и высоте, проведённой к другой стороне.

Прислать комментарий

Решение

Окружность касается стороны BC треугольника ABC в точке M, а продолжений сторон AB и AC — в точках P и Q соответственно. Вписанная окружность треугольника ABC касается стороны BC в точке K, а стороны AB — в точке L. Докажите, что:

а) отрезок AP равен полупериметру p треугольника ABC;

б) BM = CK;

в) BC = PL.

Прислать комментарий

Решение

Даны две окружности. Первая окружность вписана в треугольник ABC, вторая касается стороны AC и продолжений сторон AB и BC. Известно, что эти окружности касаются друг друга, сумма кубов их радиусов равна 152, а угол BAC равен arccos. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABC.

Прислать комментарий

Решение

Даны две окружности. Первая из них вписана в треугольник ABC, вторая касается стороны AC и продолжений сторон AB и BC. Известно, что эти окружности касаются друг друга, сумма квадратов их радиусов равна 45, а угол ABC равен arccos. Найдите длину медианы AD треугольника ABC.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 20 21 22 23 24 25 26 >> [Всего задач: 213]