Биллиард имеет форму выпуклого четырехугольника ABCD. Из точки K стороны AB выпустили биллиардный шар, который отразился в точках L, M, N от сторон BC, CD, DA, возвратился в точку K и вновь вышел на траекторию KLMN. Докажите, что четырехугольник ABCD можно вписать в окружность.

   Решение

Докажите, что шесть ребер любого тетраэдра можно разбить на три пары (a,b), (c,d), (e,f) так, чтобы из отрезков длин a+b, c+d, e+f можно было составить треугольник.

   Решение

Какую минимальную сумму цифр может иметь натуральное число, делящееся на 99?

   Решение

Найдите сумму углов при вершинах самопересекающейся пятиконечной звезды.

   Решение

Верно ли, что изменив одну цифру в десятичной записи любого натурального числа, можно получить простое число?

   Решение

Существует ли треугольник со сторонами a = 7 и b = 2, если известно, что высота, опущенная на третью сторону этого треугольника, является средним геометрическим двух других высот?

   Решение

Может ли фигура иметь более одного, но конечное число центров симметрии?

   Решение

В прямоугольном треугольнике ABC гипотенуза AB равна c и  ∠B = α.  Найдите все медианы этого треугольника.

   Решение

В треугольнике две высоты не меньше сторон, на которые они опущены. Найдите углы треугольника.

   Решение

На плоскости даны четыре точки, не лежащие на одной прямой. Докажите, что существует неостроугольный треугольник с вершинами в этих точках.

   Решение

В треугольнике $ABC$ отношение медианы $AM$ к стороне $BC$ равно $\sqrt{3}:2$. На сторонах $ABC$ отмечены точки, делящие каждую сторону на 3 равные части. Докажите, что какие-то 4 из этих 6 отмеченных точек лежат на одной окружности.

   Решение

Докажите, что площадь треугольника ABC не превосходит AB ^. AC.

   Решение

Около трапеции KLMN описана окружность, причём основание KN является её диаметром. Известно, что KN = 4, LM = 2. Хорда MT пересекает диаметр KN в точке S, причём KS : SN = 1 : 3. Найдите площадь треугольника STN.

   Решение

Выпуклый многоугольник имеет центр симметрии. Докажите, что сумма его углов делится на 360°.

   Решение

Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 77]      

Биллиард имеет форму выпуклого четырехугольника ABCD. Из точки K стороны AB выпустили биллиардный шар, который отразился в точках L, M, N от сторон BC, CD, DA, возвратился в точку K и вновь вышел на траекторию KLMN. Докажите, что четырехугольник ABCD можно вписать в окружность.

Прислать комментарий

Решение

Какое наибольшее количество непересекающихся диагоналей можно провести в выпуклом n-угольнике (допускаются диагонали, имеющие общую вершину)?

Прислать комментарий

Решение

Можно ли какой-нибудь выпуклый многоугольник разрезать на конечное число невыпуклых четырехугольников?

Прислать комментарий

Решение

Найдите сумму углов при вершинах самопересекающейся пятиконечной звезды.

Прислать комментарий

Решение

Выпуклый многоугольник имеет центр симметрии. Докажите, что сумма его углов делится на 360°.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 77]