Каталог по темам

Задачи

Страница: 1 2 3 4 >> [Всего задач: 17]

Задача 56628

Тема:

[

Точка Микеля

]

Сложность: 4
Классы: 8,9

Четыре прямые образуют четыре треугольника.
а) Докажите, что описанные окружности этих треугольников имеют общую точку (точка Микеля).
б) Докажите, что центры описанных окружностей этих треугольников лежат на одной окружности, проходящей через точку Микеля.

Прислать комментарий Решение

Задача 111598

Темы:	[	Точка Микеля	]
	[	Вписанный угол равен половине центрального	]
	[	Симметрия помогает решить задачу	]
	[	Медиана, проведенная к гипотенузе	]
	[	Общая касательная к двум окружностям	]
	[	Признаки и свойства равнобедренного треугольника.	]
	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Вписанные четырехугольники (прочее)	]

Сложность: 4
Классы: 8,9

Точки A', B' и C' – середины сторон соответственно BC, CA и AB треугольника ABC, а BH – его высота.
Докажите, что если описанные окружности треугольников AHC' и CHA' окружности проходят через точку M, то ∠ABM = ∠CBB'.

Прислать комментарий

Решение

Задача 53300

Темы:	[	Точка Микеля	]
	[	Четыре точки, лежащие на одной окружности	]
	[	Вписанные четырехугольники (прочее)	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9

Дан треугольник ABC. На прямых AB, BC и CA взяты точки C₁, A₁, и B₁ соответственно, отличные от вершин треугольника. Докажите, что окружности, описанные около треугольников AB₁C₁, A₁B₁C, A₁BC₁, пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий Решение

Задача 56629

Тема:

[

Точка Микеля

]

Сложность: 5
Классы: 8,9

Прямая пересекает стороны AB, BC и CA треугольника (или их продолжения) в точках C₁, B₁ и A₁; O, O_a, O_b и O_c — центры описанных окружностей треугольников ABC, AB₁C₁, A₁BC₁ и A₁B₁C; H, H_a, H_b и H_c — ортоцентры этих треугольников. Докажите, что:
а) $\triangle$ O_aO_bO_c $\sim$ $\triangle$ ABC.
б) серединные перпендикуляры к отрезкам OH, O_aH_a, O_bH_b и O_cH_c пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий Решение

Задача 56630

Тема:

[

Точка Микеля

]

Сложность: 5
Классы: 8,9

Четырехугольник ABCD вписанный. Докажите, что точка Микеля для прямых, содержащих его стороны, лежит на отрезке, соединяющем точки пересечения продолжений сторон.

Прислать комментарий Решение

Страница: 1 2 3 4 >> [Всего задач: 17]