Loading [Contrib]/a11y/accessibility-menu.js
ЗАДАЧИ
problems.ru 		О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Тема: Все темы >> Геометрия >> Планиметрия >> Многоугольники >> Теорема Паскаля
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 17 задач
Версия для печати
Убрать все задачи

Докажите, что биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.

Вниз   Решение

Известно, что при любом целом  K ≠ 27  число  a – K³  делится на  27 – K. Найти a.

ВверхВниз   Решение

На сторонах BC, CA и AB треугольника ABC взяты точки A1, B1 и C1, причем  AC1 = AB1, BA1 = BC1 и CA1 = CB1. Докажите, что A1, B1 и C1 — точки касания вписанной окружности со сторонами.

ВверхВниз   Решение

На высоте AH треугольника ABC взята точка M. Докажите, что  AB² – AC² = MB² – MC².

ВверхВниз   Решение

На сторонах  AB, BC, CA правильного треугольника ABC взяты точки P, Q, R так, что  AP : PB = BQ : QC = CR : RA = 2 : 1.
Докажите, что стороны треугольника PQR перпендикулярны сторонам треугольника ABC.

ВверхВниз   Решение

Известно, что при любом целом  K ≠ 27  число  a – K1964  делится без остатка на  27 – K. Найти a.

ВверхВниз   Решение

Найдите наименьшее натуральное число n, для которого выполнено следующее условие: если число p – простое и n делится на  p – 1,  то n делится на p.

ВверхВниз   Решение

На диске хранится 2013 файлов размером 1 Мб, 2 Мб, 3 Мб, ..., 2012 Мб, 2013 Мб. Можно ли их распределить по трём папкам так, чтобы в каждой папке было одинаковое количество файлов и все три папки имели один и тот же размер (в Мб)?

ВверхВниз   Решение

Докажите, что треугольник ABC равнобедренный, если у него:
  а) медиана BD является высотой;
  б) высота BD является биссектрисой.

ВверхВниз   Решение

С помощью циркуля и линейки постройте трапецию по основаниям и диагоналям.

ВверхВниз   Решение

Дано бесконечное число углов. Докажите, что этими углами можно покрыть плоскость.

ВверхВниз   Решение

Фигура на плоскости имеет ровно две оси симметрии. Найдите угол между этими осями.

ВверхВниз   Решение

Две окружности разных радиусов касаются в точке A одной и той же прямой и расположены по разные стороны от неё. Отрезок AB -- диаметр меньшей окружности. Из точки B проведены две прямые, касающиеся большей окружности в точках M и N. Прямая, проходящая через точки M и A, пересекают меньшую окружность в точке K. Известно, что MK = $ \sqrt{2 + \sqrt{3}}$, а угол BMA равен 15o. Найдите площадь фигуры, ограниченной отрезками касательной BM, BN и той дугой MN большей окружности, которая не содержит точку A.

ВверхВниз   Решение

Исследуйте последовательности на сходимость:
а) xn + 1 = $ {\dfrac{1}{1+x_n}}$,    x0 = 1;
б) xn + 1 = sin xn,     x0 = a $ \in$ (0;$ \pi$);
в) xn + 1 = $ \sqrt{a+x}$,    a > 0, x0 = 0.

ВверхВниз   Решение

Для последовательности {an}

$\displaystyle \lim\limits_{n\to\infty}^{}$$\displaystyle \left(\vphantom{a_{n+1}-\dfrac{a_n}{2}}\right.$an + 1 - $\displaystyle {\dfrac{a_n}{2}}$$\displaystyle \left.\vphantom{a_{n+1}-\dfrac{a_n}{2}}\right)$ = 0.

Докажите, что $ \lim\limits_{n\to\infty}^{}$an = 0.

ВверхВниз   Решение

Докажите, что для нечётных чисел a, b и c имеет место равенство   (½ (b + c), ½ (a + c), ½ (a + b)) = (a, b, c).

ВверхВниз   Решение

Четырехугольник ABCD вписан в окружность S; X — произвольная точка, M и N — вторые точки пересечения прямых XA и XD с окружностью S. Прямые DC и AX, AB и DX пересекаются в точках E и F. Докажите, что точка пересечения прямых MN и EF лежит на прямой BC.

Вверх   Решение

Задачи

Страница: << 1 2 3 4 >> [Всего задач: 20]      

  с решениями  

Задача 57108

Тема:   [ Теорема Паскаля ]
Сложность: 6+
Классы: 9

В треугольнике ABC проведены высоты AA1 и BB1 и биссектрисы AA2 и BB2; вписанная окружность касается сторон BC и AC в точках A3 и B3. Докажите, что прямые  A1B1, A2B2 и A3B3 пересекаются в одной точке или параллельны.
Прислать комментарий     Решение

Задача 57109

Тема:   [ Теорема Паскаля ]
Сложность: 6+
Классы: 9

Четырехугольник ABCD вписан в окружность S; X — произвольная точка, M и N — вторые точки пересечения прямых XA и XD с окружностью S. Прямые DC и AX, AB и DX пересекаются в точках E и F. Докажите, что точка пересечения прямых MN и EF лежит на прямой BC.
Прислать комментарий     Решение

Задача 57110

Тема:   [ Теорема Паскаля ]
Сложность: 6+
Классы: 9

Четырехугольник ABCD вписан в окружность с центром O. Точка X такова, что $ \angle$BAX = $ \angle$CDX = 90o. Докажите, что точка пересечения диагоналей четырехугольника ABCD лежит на прямой XO.
Прислать комментарий     Решение

Задача 57111

Тема:   [ Теорема Паскаля ]
Сложность: 6+
Классы: 9

Точки A и A1, лежащие внутри окружности с центром O, симметричны относительно точки O. Лучи AP и A1P1 сонаправлены, лучи AQ и A1Q1 тоже сонаправлены. Докажите, что точка пересечения прямых P1Q и PQ1 лежит на прямой AA1. (Точки P, P1, Q и Q1 лежат на окружности.)
Прислать комментарий     Решение

Задача 57112

Тема:   [ Теорема Паскаля ]
Сложность: 6+
Классы: 9

Две окружности касаются описанной окружности треугольника ABC в точке K; кроме того, одна из этих окружностей касается стороны AB в точке M, а другая касается стороны AC в точке N. Докажите, что центр вписанной окружности треугольника ABC лежит на прямой MN.
Прислать комментарий     Решение

Страница: << 1 2 3 4 >> [Всего задач: 20]      

  с решениями  

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .