На диагоналях AC и CE правильного шестиугольника ABCDEF взяты точки M и N соответственно, причём  ^AM/_AC = ^CN/_CE = λ.  Известно, что точки B, M и N лежат на одной прямой. Найдите λ.

   Решение

У Джона была полная корзина тремпончиков. Сначала он встретил Анну и дал ей половину своих тремпончиков и еще полтремпончика. Потом он встретил Банну и отдал ей половину оставшихся тремпончиков и еще полтремпончика. После того, как он встретил Ванну и снова отдал ей половину тремпончиков и еще полтремпончика, корзина опустела. Сколько тремпончиков было у Джона вначале? (Что такое тремпончики выяснить не удалось, так как к концу задачи их не осталось.)

   Решение

а) На плоскости лежит правильный восьмиугольник. Его разрешено "перекатывать" по плоскости, переворачивая (симметрично отражая) относительно любой стороны. Докажите, что для любого круга можно перекатить восьмиугольник в такое положение, что его центр окажется внутри круга.
б) Решите аналогичную задачу для правильного пятиугольника.
в) Для каких правильных n-угольников верно аналогичное утверждение?

   Решение

Длины сторон выпуклого шестиугольника ABCDEF меньше 1. Докажите, что длина одной из диагоналей AD, BE, CF меньше 2.

   Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 24]      

Пусть ABCDE — выпуклый пятиугольник, вписанный в окружность радиуса 1, причем  AB = a, BC = b, CD = c, DE = d, AE = 2. Докажите, что

Прислать комментарий

Решение

Внутри правильного шестиугольника со стороной 1 взята точка P. Докажите, что расстояния от точки P до некоторых трех вершин шестиугольника не меньше 1.

Прислать комментарий

Решение

Докажите, что если стороны выпуклого шестиугольника ABCDEF равны 1, то радиус описанной окружности одного из треугольников ACE и BDF не превосходит 1.

Прислать комментарий

Решение

Длины сторон выпуклого шестиугольника ABCDEF меньше 1. Докажите, что длина одной из диагоналей AD, BE, CF меньше 2.

Прислать комментарий

Решение

Докажите, что из сторон выпуклого многоугольника периметра P можно составить два отрезка, длины которых отличаются не более чем на P/3.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 24]