Существует ли непостоянный многочлен $P(x)$, который можно представить в виде суммы  $a(x) + b(x)$,  где $a(x)$ и $b(x)$ – квадраты многочленов с действительными коэффициентами,
  а) ровно одним способом?
  б) ровно двумя способами?
Способы, отличающиеся лишь порядком слагаемых, считаются одинаковыми.

   Решение

С помощью циркуля и линейки постройте треугольник по углу, противолежащей стороне и разности двух других сторон.

   Решение

В выпуклом 2002-угольнике провели несколько диагоналей, не пересекающихся внутри 2002-угольника. В результате 2002-угольник разделился на 2000 треугольников. Могло ли случиться, что ровно у половины этих треугольников все стороны являются диагоналями этого 2002-угольника?

   Решение

Постройте треугольник ABC по углам A и B и разности сторон AC и BC.

   Решение

Пять отрезков таковы, что из любых трех из них можно составить треугольник. Докажите, что хотя бы один из этих треугольников остроугольный.

   Решение

Все коэффициенты многочлена равны 1, 0 или –1.
Докажите, что все его действительные корни (если они существуют) заключены в отрезке  [–2, 2].

   Решение

Докажите, что середины всех хорд данной длины, проведённых в данной окружности, лежат на некоторой окружности.

   Решение

Докажите, что треугольник ABC остроугольный тогда и только тогда, когда длины его проекций на три различных направления равны.

   Решение

Страница: << 1 2 3 4 >> [Всего задач: 16]      

Докажите, что треугольник ABC остроугольный тогда и только тогда, когда длины его проекций на три различных направления равны.

Прислать комментарий

Решение

Пусть h — наибольшая высота нетупоугольного треугольника. Докажите, что r + R h.

Прислать комментарий

Решение

На сторонах BC, CA и AB остроугольного треугольника ABC взяты точки A₁, B₁ и C₁. Докажите, что

2(B₁C₁cos + C₁A₁cos + A₁B₁cos) a cos + b cos + c cos.

Прислать комментарий

Решение

Существуют ли в пространстве четыре точки A, B, C, D такие, что AB = CD = 8 см, AC = BD = 10 см, AD = BC = 13 см?

Прислать комментарий

Решение

Пять отрезков таковы, что из любых трех из них можно составить треугольник. Докажите, что хотя бы один из этих треугольников остроугольный.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 1 2 3 4 >> [Всего задач: 16]