В выпуклом n-угольнике провели несколько диагоналей так, что ни в какой точке внутри многоугольника не пересеклись три или более из них. В результате многоугольник разбился на треугольники. Каково наибольшее возможное число треугольников?

   Решение

Пусть a₁,a₂,...,a_n — векторы, длины которых не превосходят 1. Докажите, что в сумме c = ±a₁±a₂...±a_n можно выбрать знаки так, что |c|.

   Решение

Точки A₁,..., A_n лежат на окружности с центром O, причем +...+ = . Докажите, что для любой точки X справедливо неравенство XA₁ +...+ XA_nnR, где R — радиус окружности.

   Решение

Страница: << 1 2 3 4 >> [Всего задач: 16]      

Десять векторов таковы, что длина суммы любых девяти их них меньше длины суммы всех десяти векторов. Докажите, что существует ось, проекция на которую каждого из десяти векторов положительна.

Прислать комментарий

Решение

Точки A₁,..., A_n лежат на окружности с центром O, причем +...+ = . Докажите, что для любой точки X справедливо неравенство XA₁ +...+ XA_nnR, где R — радиус окружности.

Прислать комментарий

Решение

Дано восемь вещественных чисел a, b, c, d, e, f, g, h. Докажите, что хотя бы одно из шести чисел ac + bd, ae + bf, ag + bh, ce + df, cg + dh, eg + fh неотрицательно.

Прислать комментарий

Решение

На окружности радиуса 1 с центром O дано 2n + 1 точек P₁,..., P_{2n + 1}, лежащих по одну сторону от некоторого диаметра. Докажите, что | +...+ |1.

Прислать комментарий

Решение

Пусть a₁,a₂,...,a_n — векторы, длины которых не превосходят 1. Докажите, что в сумме c = ±a₁±a₂...±a_n можно выбрать знаки так, что |c|.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 1 2 3 4 >> [Всего задач: 16]