Подтемы:
- Основные свойства центра масс (8 задач)
- Теорема о группировке масс (27 задач)
- Момент инерции (9 задач)
- Барицентрические координаты (19 задач)
- Трилинейные координаты (11 задач)
- Центр масс (прочее) (5 задач)
Фильтр
Выбрано 10 задач Убрать все задачи
Противоположные рёбра треугольной пирамиды попарно равны. Докажите, что все грани этой пирамиды – равные остроугольные треугольники.
На клавиатуре калькулятора есть цифры от 0 до 9 и знаки двух действий (см. рисунок). Вначале на дисплее написано число 0. Можно нажимать любые клавиши. Калькулятор выполняет действия в последовательности нажатий. Если знак действия нажать подряд несколько раз, то калькулятор запомнит только последнее нажатие. Рассеянный Учёный нажал очень много кнопок в случайной последовательности. Найдите приблизительно вероятность, с которой результат получившейся цепочки действий – нечётное число?
В классе 32 ученика. Было организовано 33 кружка, причём каждый кружок состоит из трёх человек и никакие два кружка не совпадают по составу. Доказать, что найдутся такие два кружка, которые пересекаются ровно по одному ученику.
Сколько сторон может иметь выпуклый многоугольник,
все диагонали которого имеют одинаковую длину?
Нарисуйте изображение куба, полученное в результате ортогонального проектирования куба на плоскость, перпендикулярную: а) одному из рёбер; б) диагонали одной из граней.
Доказать, что на сфере нельзя так расположить три дуги больших окружностей в 300o каждая, чтобы никакие две из них не имели ни общих точек, ни общих концов.
Примечание: Большая окружность – это окружность, полученная в сечении сферы плоскостью, проходящей через ее центр.
С помощью циркуля и линейки постройте параллелограмм по углу и диагоналям.
Постройте треугольник ABC по: а) c, a - b (a > b)
и углу C; б) c, a + b и углу C.
Когда закончился хоккейный турнир (в один круг), оказалось, что для каждой группы команд можно найти команду (может быть, из той же группы), которая набрала в играх с командами этой группы нечётное число очков. Докажите, что в турнире участвовало чётное число команд. (Поражение – 0 очков, ничья – 1 очко, выигрыш – 2 очка.)
Найдите внутри треугольника ABC точку O, обладающую следующим
свойством: для любой прямой, проходящей через O и пересекающей
сторону AB в точке K и сторону BC в точке L, выполнено равенство
p + q
= 1, где p и q — данные положительные
числа.
Задачи Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 79]
Задача 57783 |
|
|
Пусть
( :
:
) — абсолютные барицентрические координаты
точки X; M — центр масс
треугольника ABC.
Докажите, что
3
= (
-
)
+ (
-
)
+ (
-
)
.
|
|
Решение |
Задача 78542 |
|
|
Дана система из n точек на плоскости, причём известно, что для любых двух точек данной системы можно указать движение плоскости, при котором первая точка перейдёт во вторую, а система перейдёт сама в себя. Доказать, что все точки такой системы лежат на одной окружности.
|
|
|
Решение |
Задача 73778 |
|
|
n отрезков A1 B1 , A2 B2 , ... , An Bn (рис. 5) расположены
на плоскости так, что каждый из них начинается на одной из двух данных
прямых, оканчивается на другой прямой, и проходит через точку G (не
лежащую на данных прямых) — центр тяжести единичных масс, помещенных
в точках A1 , A2 , ... , An . Докажите, что
|
|
|
Решение |
Задача 57754 |
|
|
На сторонах AB, BC, CD и DA выпуклого четырехугольника ABCD
взяты точки K, L, M и N соответственно, причем
AK : KB = DM : MC = и
BL : LC = AN : ND =
. Пусть P —
точка пересечения отрезков KM и LN. Докажите, что
NP : PL =
и
KP : PM =
.
|
|
|
Решение |
Задача 57755 |
|
|
Найдите внутри треугольника ABC точку O, обладающую следующим
свойством: для любой прямой, проходящей через O и пересекающей
сторону AB в точке K и сторону BC в точке L, выполнено равенство
p + q
= 1, где p и q — данные положительные
числа.
|
|
Решение |
Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 79]
