Если класс из 30 человек рассадить в зале кинотеатра, то в любом случае хотя бы в одном ряду окажется не менее двух одноклассников. Если то же самое проделать с классом из 26 человек, то по крайней мере три ряда окажутся пустыми. Сколько рядов в зале?

   Решение

Незнайка хвастается, что написал в ряд несколько единиц, поставил между каждыми соседними единицами знак "+" или "×", расставил скобки и получил выражение, значение которого равно 2014; более того, если в этом выражении заменить одновременно все знаки "+" на знаки "×", а знаки "×" на знаки "+", все равно получится 2014. Может ли он быть прав?

   Решение

а) Вычислите барицентрические координаты точки Нагеля N.
б) Пусть N — точка Нагеля, M — центр масс, I — центр вписанной окружности треугольника ABC. Докажите, что = 2; в частности точка N лежит на прямой MI.

   Решение

Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 79]      

На сторонах AB, BC, CA треугольника ABC взяты такие точки A₁ и B₂, B₁ и C₂, C₁ и A₂, что отрезки A₁A₂, B₁B₂ и C₁C₂ параллельны сторонам треугольника и пересекаются в точке P. Докажите, что PA₁ ^. PA₂ + PB₁ ^. PB₂ + PC₁ ^. PC₂ = R² - OP², где O — центр описанной окружности.

Прислать комментарий

Решение

Внутри окружности радиуса R расположено n точек. Докажите, что сумма квадратов попарных расстояний между ними не превосходит n²R².

Прислать комментарий

Решение

Внутри треугольника ABC взята точка P. Пусть d_a, d_b и d_c — расстояния от точки P до сторон треугольника, R_a, R_b и R_c — расстояния от нее до вершин. Докажите, что

3(d_a² + d_b² + d_c²)(R_asin A)² + (R_bsin B)² + (R_csin C)².

Прислать комментарий

Решение

а) Вычислите барицентрические координаты точки Нагеля N.
б) Пусть N — точка Нагеля, M — центр масс, I — центр вписанной окружности треугольника ABC. Докажите, что = 2; в частности точка N лежит на прямой MI.

Прислать комментарий

Решение

Пусть M — центр масс треугольника ABC, X — произвольная точка. На прямых BC, CA и AB взяты точки A₁, B₁ и C₁ так, что A₁X| AM, B₁X| BM и  C₁X| CM. Докажите, что центр масс M₁ треугольника A₁B₁C₁ совпадает с серединой отрезка MX.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 79]