Каталог по темам

Задачи

Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 79]

Задача 57770

Тема:

[

Момент инерции

]

Сложность: 5
Классы: 9

На сторонах AB, BC, CA треугольника ABC взяты такие точки A₁ и B₂, B₁ и C₂, C₁ и A₂, что отрезки A₁A₂, B₁B₂ и C₁C₂ параллельны сторонам треугольника и пересекаются в точке P. Докажите, что PA₁^.PA₂ + PB₁^.PB₂ + PC₁^.PC₂ = R² - OP², где O — центр описанной окружности.

Прислать комментарий Решение

Задача 57771

Тема:

[

Момент инерции

]

Сложность: 5
Классы: 9

Внутри окружности радиуса R расположено n точек. Докажите, что сумма квадратов попарных расстояний между ними не превосходит n²R².

Прислать комментарий Решение

Задача 57772

Тема:

[

Момент инерции

]

Сложность: 5
Классы: 9

Внутри треугольника ABC взята точка P. Пусть d_a, d_b и d_c — расстояния от точки P до сторон треугольника, R_a, R_b и R_c — расстояния от нее до вершин. Докажите, что

3(d_a² + d_b² + d_c²) $\displaystyle \ge$ (R_asin A)² + (R_bsin B)² + (R_csin C)².

Прислать комментарий

Решение

Задача 57784

Тема:

[

Барицентрические координаты

]

Сложность: 5
Классы: 9,10

а) Вычислите барицентрические координаты точки Нагеля N.
б) Пусть N — точка Нагеля, M — центр масс, I — центр вписанной окружности треугольника ABC. Докажите, что $\overrightarrow{NM}$ = 2 $\overrightarrow{MI}$ ; в частности точка N лежит на прямой MI.

Прислать комментарий Решение

Задача 57785

Тема:

[

Барицентрические координаты

]

Сложность: 5
Классы: 9,10

Пусть M — центр масс треугольника ABC, X — произвольная точка. На прямых BC, CA и AB взяты точки A₁, B₁ и C₁ так, что A₁X| AM, B₁X| BM и C₁X| CM. Докажите, что центр масс M₁ треугольника A₁B₁C₁ совпадает с серединой отрезка MX.

Прислать комментарий Решение

Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 79]