Тема:
Все темы
>>
Геометрия
>>
Планиметрия
>>
Преобразования плоскости
>>
Движения
>>
Поворот
>>
Повороты на $60^\circ$ и $120^\circ$
Фильтр
Выбрано 5 задач Убрать все задачи
На плоскости расположено n5 окружностей так,
что любые три из них имеют общую точку. Докажите, что
тогда и все окружности имеют общую точку.
На отрезке длиной 1 расположены попарно не пересекающиеся
отрезки, сумма длин которых равна p. Обозначим эту систему
отрезков A. Пусть B — дополнительная система отрезков
(отрезки систем A и B не имеют общих внутренних точек и
полностью покрывают данный отрезок). Докажите, что существует
параллельный перенос T, для которого пересечение B и T(A)
состоит из отрезков, сумма длин которых не меньше p(1 - p)/2.
Два пирата, Билл и Джон, имея каждый по 74 золотые монеты, решили сыграть в такую игру: они по очереди будут выкладывать на стол монеты, за один ход – одну, две или три, а выиграет тот, кто положит на стол сотую по счёту монету. Начинает Билл. Кто может выиграть в такой игре, независимо от того, как будет действовать соперник?
Доказать, что существует бесконечно много натуральных чисел,
не представимых в виде
a) x² + y²; б) x² + y² + z² ; в) x³ + y³ + z³.
Даны точка X и правильный треугольник ABC. Докажите, что из отрезков
XA, XB и XC можно составить треугольник, причем этот треугольник
вырожденный тогда и только тогда, когда точка X лежит на описанной окружности
треугольника ABC (Помпею).
Задачи Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 50]
Задача 57941[Теорема Помпею] |
|
|
Даны точка X и правильный треугольник ABC. Докажите, что из отрезков
XA, XB и XC можно составить треугольник, причем этот треугольник
вырожденный тогда и только тогда, когда точка X лежит на описанной окружности
треугольника ABC (Помпею).
|
|
Решение |
Задача 57942 |
|
|
Шестиугольник ABCDEF вписан в окружность радиуса R, причем
AB = CD = EF = R. Докажите, что середины сторон BC, DE и FA образуют
правильный треугольник.
|
|
Решение |
Задача 57943 |
|
|
На сторонах выпуклого центрально симметричного шестиугольника ABCDEF
внешним образом построены правильные треугольники. Докажите, что
середины отрезков, соединяющих вершины соседних треугольников, образуют
правильный шестиугольник.
|
|
|
Решение |
Задача 35640 |
|
|
В правильном шестиугольнике ABCDEF точки K и L - середины сторон AB и BC соответственно. Отрезки DK и EL пересекаются в точке N. Докажите, что площадь четырехугольника KBLN равна площади треугольника DEN.
|
|
|
Решение |
Задача 55718 |
|
|
Докажите, что треугольник ABC является правильным тогда и только тогда, когда при повороте на 60° (либо по часовой стрелке, либо против) относительно точки A вершина B переходит в вершину C.
|
|
|
Решение |
Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 50]
