В правильной треугольной призме плоскость, проходящая через сторону одного основания и противоположную ей вершину другого основания, образует с плоскостью основания угол, равный 45^o . Площадь сечения равна S . Найдите объём призмы.

   Решение

Найти наименьшее n такое, что любой выпуклый 100-угольник можно получить в виде пересечения n треугольников. Докажите, что для меньших n это можно сделать не с любым выпуклым 100-угольником.

   Решение

В выпуклом многоугольнике из каждой вершины опущены перпендикуляры на все не смежные с ней стороны. Может ли оказаться так, что основание каждого перпендикуляра попало на продолжение стороны, а не на саму сторону?

   Решение

На перпендикуляре к плоскости прямоугольника ABCD , проходящем через точку A , взята точка P , отличная от A . Докажите, что а) плоскость APB перпендикулярна плоскости APD ; б) плоскость APB перпендикулярна плоскости BPC ; в) плоскость APD перпендикулярна плоскости DPC .

   Решение

Точка D лежит на стороне AB треугольника ABC. Найдите CD, если известно, что BC = 37, AC = 15, AB = 44, AD = 14.

   Решение

Даны две непересекающиеся окружности. Найдите геометрическое место точек центров окружностей, делящих пополам данные окружности (т. е. пересекающих их в диаметрально противоположных точках).

   Решение

На доске нарисовали выпуклый многоугольник. В нём провели несколько диагоналей, не пересекающихся внутри него, так что он оказался разбит на треугольники. Затем возле каждой вершины записали число треугольников, примыкающих к этой вершине, после чего все диагонали стерли. Можно ли по оставшимся возле вершин числам восстановить стёртые диагонали?

   Решение

Назовем выпуклый семиугольник особым, если три его диагонали пересекаются в одной точке. Докажите, что, слегка пошевелив одну из вершин особого семиугольника, можно получить неособый семиугольник.

   Решение

Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 133]      

Внутри квадрата A₁A₂A₃A₄ лежит выпуклый четырёхугольник A₅A₆A₇A₈. Внутри A₅A₆A₇A₈ выбрана точка A₉. Никакие три из этих девяти точек не лежат на одной прямой. Докажите, что из этих девяти точек можно выбрать 5 точек, расположенных в вершинах выпуклого пятиугольника.

Прислать комментарий

Решение

На плоскости дано несколько правильных n-угольников. Докажите, что выпуклая оболочка их вершин имеет не менее n углов.

Прислать комментарий

Решение

Среди всех таких чисел n, что любой выпуклый 100-угольник можно представить в виде пересечения (т. е. общей части) n треугольников, найдите наименьшее.

Прислать комментарий

Решение

Назовем выпуклый семиугольник особым, если три его диагонали пересекаются в одной точке. Докажите, что, слегка пошевелив одну из вершин особого семиугольника, можно получить неособый семиугольник.

Прислать комментарий

Решение

На плоскости нарисованы два выпуклых многоугольника P и Q. Для каждой стороны многоугольника P многоугольник Q можно зажать между двумя прямыми, параллельными этой стороне. Обозначим через h расстояние между этими прямыми, а через l – длину стороны и вычислим произведение lh. Просуммировав такие произведения по всем сторонам P, получим некоторую величину  (P, Q).  Докажите, что  (P, Q) = (Q, P).

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 133]