Можно ли n раз рассадить  2n + 1  человек за круглым столом, чтобы никакие двое не сидели рядом более одного раза, если
 а)  n = 5;  б)  n = 4;  в) n – произвольное натуральное число?

   Решение

Найдите первые 17 знаков в десятичной записи у чисел:
а) + +...+ ;
б) + ;
в) - .

   Решение

Даны треугольник ABC и прямая l. Обозначим через A₁, B₁, C₁ середины отрезков, высекаемых на прямой l углами A, B, C, а через A₂, B₂, C₂ — точки пересечения прямых AA₁ и BC, BB₁ и AC, CC₁ и AB. Докажите, что точки A₂, B₂, C₂ лежат на одной прямой.

   Решение

Страница: << 1 2 3 >> [Всего задач: 15]      

Дан выпуклый четырехугольник ABCD. Пусть P, Q — точки пересечения продолжений противоположных сторон AB и CD, AD и BC соответственно, R — произвольная точка внутри четырехугольника. Пусть K — точка пересечения прямых BC и PR, L — точка пересечения прямых AB и QR, M — точка пересечения прямых AK и DR. Докажите, что точки L, M и C лежат на одной прямой.

Прислать комментарий

Решение

Даны два треугольника ABC и A₁B₁C₁. Известно, что прямые AA₁, BB₁ и CC₁ пересекаются в одной точке O, и прямые AB₁, BC₁ и CA₁ пересекаются в одной точке O₁. Докажите, что прямые AC₁, BA₁ и CB₁ тоже пересекаются в одной точке O₂ (теорема о дважды перспективных треугольниках).

Прислать комментарий

Решение

Даны два треугольника ABC и A₁B₁C₁. Известно, что прямые AA₁, BB₁ и CC₁ пересекаются в одной точке O, прямые AA₁, BC₁ и CB₁ пересекаются в одной точке O₁ и прямые AC₁, BB₁ и CA₁ пересекаются в одной точке O₂. Докажите, что прямые AB₁, BA₁ и CC₁ тоже пересекаются в одной точке O₃ (теорема о трижды перспективных треугольниках).

Прислать комментарий

Решение

Даны четырехугольник ABCD и прямая l. Обозначим через P, Q, R точки пересечения прямых AB и CD, AC и BD, BC и AD, а через P₁, Q₁, R₁ — середины отрезков, которые эти пары прямых высекают на прямой l. Докажите, что прямые PP₁, QQ₁ и RR₁ пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий

Решение

Даны треугольник ABC и прямая l. Обозначим через A₁, B₁, C₁ середины отрезков, высекаемых на прямой l углами A, B, C, а через A₂, B₂, C₂ — точки пересечения прямых AA₁ и BC, BB₁ и AC, CC₁ и AB. Докажите, что точки A₂, B₂, C₂ лежат на одной прямой.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 1 2 3 >> [Всего задач: 15]