Известно, что среди нескольких монет имеется ровно одна фальшивая (отличается по весу от настоящих). С помощью двух взвешиваний на чашечных весах без гирь определите, легче или тяжелее фальшивая монета настоящей (находить ее не надо), если монет
а) 100;
б) 99;
в) 98?

   Решение

В квадрате со стороной 1 проведено конечное количество отрезков, параллельных его сторонам. Отрезки могут пересекать друг друга. Сумма длин проведенных отрезков равна 18. Докажите, что среди частей, на которые разбивается квадрат этими отрезками, найдётся такая, площадь которой не меньше 0,01.

   Решение

Докажите равенство  

   Решение

Внутри равностороннего треугольника со стороной 1 расположено пять точек. Докажите, что расстояние между некоторыми двумя из них меньше 0, 5.

   Решение

Вычислите производящие функции следующих последовательностей:
а)     б)  

   Решение

Даны два набора из n вещественных чисел:  a₁, a₂, ..., a_n  и  b₁, b₂, ..., b_n.  Докажите, что если выполняется хотя бы одно из двух условий:
  а) из  a_i < a_j  следует, что  b_i ≤ b_j;
  б) из  a_i < a < a_j,  где  a = ¹/_n (a₁ + a₂ + ... + a_n),  следует, что  b_i ≤ b_j,
то верно неравенство   n(a₁ b₁ + a₂b₂ + ... + a_nb_n) ≥ (a₁ + a₂ + ... + a_n)(b₁ + b₂ + ... + b_n).

   Решение

Какое слагаемое в разложении  (1 + )¹⁰⁰  по формуле бинома Ньютона будет наибольшим?

   Решение

В разложении  (x + y)ⁿ  по формуле бинома Ньютона второй член оказался равен 240, третий – 720, а четвёртый – 1080. Найдите x, y и n.

   Решение

Докажите, что если p – простое число и  1 ≤ k ≤ p – 1,  то    делится на p.

   Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 107]      

Докажите, что если p – простое число и  1 ≤ k ≤ p – 1,  то    делится на p.

Прислать комментарий

Решение

Найдите число нулей, на которое оканчивается число  11¹⁰⁰ – 1.

Прислать комментарий

Решение

План города имеет схему, изображенную на рисунке.

На всех улицах введено одностороннее движение: можно ехать только "вправо" или "вверх".
Сколько есть разных маршрутов, ведущих из точки A в точку B.

Прислать комментарий

Решение

Докажите, что из n предметов чётное число предметов можно выбрать 2^n–1 способами.

Прислать комментарий

Решение

Докажите, что  

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 107]