Каталог по темам

Задачи

Страница: << 105 106 107 108 109 110 111 >> [Всего задач: 1006]

Задача 60736

[Малая теорема Ферма]

Темы:	[	Малая теорема Ферма	]
Темы:	[	Треугольник Паскаля и бином Ньютона	]

Сложность: 3+
Классы: 9,10,11

Малая теорема Ферма. Пусть p – простое число и p не делит a. Тогда a^p–1 ≡ 1 (mod p).
Докажите теорему Ферма, разлагая (1 + 1 + ... + 1)^p посредством полиномиальной теоремы (см. задачу 60400).

Прислать комментарий

Решение

Задача 61012

Темы:	[	Тождественные преобразования	]
	[	Треугольник Паскаля и бином Ньютона	]
	[	Теорема Виета	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9,10

Докажите, что если a + b + c = 0, то 2(a⁵ + b⁵ + c⁵) = 5abc(a² + b² + c²).

Прислать комментарий

Решение

Задача 61126

Темы:	[	Суммы числовых последовательностей и ряды разностей	]
	[	Треугольник Паскаля и бином Ньютона	]
	[	Комплексные числа помогают решить задачу	]

Сложность: 3+
Классы: 9,10,11

Используя разложение (1 + i)ⁿ по формуле бинома Ньютона, найдите:
а)

б)

Прислать комментарий

Решение

Задача 61497

Темы:	[	Треугольник Паскаля и бином Ньютона	]
Темы:	[	Производящие функции	]

Сложность: 3+
Классы: 9,10,11

Вычислите производящие функции следующих последовательностей:
а) б)

Прислать комментарий

Решение

Задача 61509

Темы:	[	Раскладки и разбиения	]
Темы:	[	Производящие функции	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9,10,11

Пусть p(n) – количество разбиений числа n (определение разбиений смотри здесь). Докажите равенства:

p(0) + p(1)x + p(2)x '' + ... = (1 + x + x² + ...)...(1 + x^k + x^2k + ...)... = (1 – x)^–1(1 – x²)^–1(1 – x³)^–1...

(По определению считается, что p(0) = 1.)

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 105 106 107 108 109 110 111 >> [Всего задач: 1006]