Каталог по темам

Задачи

Страница: << 7 8 9 10 11 12 13 >> [Всего задач: 150]

Задача 60910

Темы:	[	Необычные конструкции	]
Темы:	[	Троичная система счисления	]

Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Множество Кантора. Отрезок числовой оси от 0 до 1 покрашен в зеленый цвет. Затем его средняя часть — интервал (1/3;2/3) перекрашивается в красный цвет, потом средняя часть каждого из оставшихся зелеными отрезков тоже перекрашивается в красный цвет, с оставшимися зелеными отрезками проделывается та же операция и так до бесконечности. Точки, оставшиеся зелеными, образуют множество Кантора.
а) Найдите сумму длин красных интервалов.
б) Докажите, что число 1/4 останется окрашенным в зеленый цвет.
в) Из суммы

$\displaystyle {\textstyle\dfrac{2}{3}}$ + $\displaystyle {\textstyle\dfrac{2}{9}}$ + $\displaystyle {\textstyle\dfrac{2}{27}}$ + $\displaystyle {\textstyle\dfrac{2}{81}}$ +...

произвольным образом вычеркнуты слагаемые. Докажите, что сумма оставшихся слагаемых — зеленое число.

Прислать комментарий

Решение

Задача 73560

Темы:	[	Объединение, пересечение и разность множеств	]
	[	Правило произведения	]
	[	Разбиения на пары и группы; биекции	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9,10,11

В множестве, состоящем из n элементов, выбрано 2^n–1 подмножеств, каждые три из которых имеют общий элемент.
Докажите, что все эти подмножества имеют общий элемент.

Прислать комментарий Решение

Задача 98237

Темы:	[	Объединение, пересечение и разность множеств	]
	[	Круг, сектор, сегмент и проч.	]
	[	Пересекающиеся окружности	]
	[	Задачи с ограничениями	]
	[	Индукция (прочее)	]
	[	Оценка + пример	]

Сложность: 4+
Классы: 9,10,11

Автор: Бродский Н.

Фигура Ф представляет собой пересечение n кругов (n ≥ 2, радиусы не обязательно одинаковы). Какое максимальное число криволинейных "сторон" может иметь фигура Ф? (Криволинейная сторона – это участок границы Ф, принадлежащий одной из окружностей и ограниченный точками пересечения с другими окружностями.)

Прислать комментарий Решение

Задача 109702

Темы:	[	Формула включения-исключения	]
	[	Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители	]
	[	Процессы и операции	]
	[	Отношение эквивалентности. Классы эквивалентности	]
	[	Отношение порядка	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9,10

Автор: Канель-Белов А.Я.

Числа от 1 до 1000000 покрашены в два цвета – чёрный и белый. За ход разрешается выбрать любое число от 1 до 1000000 и перекрасить его и все числа, не взаимно простые с ним, в противоположный цвет. Вначале все числа были чёрными. Можно ли за несколько ходов добиться того, что все числа станут белыми?

Прислать комментарий

Решение

Задача 111772

Темы:	[	Объединение, пересечение и разность множеств	]
	[	Примеры и контрпримеры. Конструкции	]
	[	Оценка + пример	]

Сложность: 4+
Классы: 9,10,11

Авторы: Богданов И.И., Челноков Г.Р.

При каком наименьшем $n$ для любого набора $A$ из $2007$ множеств найдется такой набор $B$ из $n$ множеств, что каждое множество набора $A$ является пересечением двух различных множеств набора $B$?

Прислать комментарий Решение

Страница: << 7 8 9 10 11 12 13 >> [Всего задач: 150]