Каталог по темам

Выбрано 9 задач

Пусть характеристическое уравнение ( 11.3) последовательности {a_n} имеет два различных корня x₁ и x₂. Докажите, что при фиксированных a₀, a₁ существует ровно одна пара чисел c₁, c₂ такая, что

a_n = c₁x₁ⁿ + c₂x₂ⁿ (n = 0, 1, 2,...).

Решение

Автор: Ботин Д.А.

Пешеход обошёл шесть улиц одного города, пройдя каждую ровно два раза, но не смог обойти их, пройдя каждую лишь раз. Могло ли это быть?

Решение

Автор: Ященко И.В.

В написанном на доске примере на умножение хулиган Петя исправил две цифры. Получилось 4·5·4·5·4 = 2247.
Восстановите исходный пример.

Решение

Автор: Скопенков А.Б.

Замкнутая, возможно, самопересекающаяся ломаная симметрична относительно не лежащей на ней точки $O$. Докажите, что число оборотов ломаной вокруг $O$ нечётно. (Числом оборотов вокруг $O$ называется сумма ориентированных углов $$\angle A_1OA_2+\angle A_2OA_3+\ldots+\angle A_{n-1}OA_n+\angle A_nOA_1,$$ делённая на $2\pi$.)

Решение

Дана пирамида АВСD (см. рис.). Известно, что
$\triangle$ ADB = $\triangle$ DBC;
$\triangle$ ABD = $\triangle$ BDC;
$\triangle$ BAD = $\triangle$ ABC.
Найдите площадь поверхности пирамиды (сумму площадей четырех треугольников), если площадь треугольника АВС равна 10 см².

Решение

Дискретная теорема Лиувилля. Пусть f (x, y) — ограниченная гармоническая (определение смотри в задаче 11.28) функция, то есть существует положительная константа M такая, что

$\displaystyle \forall$ (x, y) $\displaystyle \in$ $\displaystyle \mathbb {Z}$ ² | f (x, y)| $\displaystyle \leqslant$ M.

Докажите, что функция f (x, y) равна константе.

Решение

Числа a₁, a₂, ..., a_k таковы, что равенство

$\displaystyle \lim\limits_{n\to\infty}^{}$ (x_n + a₁x_{n - 1} +...+ a_kx_{n - k}) = 0

возможно только для тех последовательностей {x_n}, для которых $\lim\limits_{n\to\infty}^{}$ x_n = 0. Докажите, что все корни многочлена

P( $\displaystyle \lambda$ ) = $\displaystyle \lambda^{k}_{}$ + a₁ $\displaystyle \lambda^{k-1}_{}$ + a₂ $\displaystyle \lambda^{k-2}_{}$ +...+ a_k

по модулю меньше 1.

Решение

Автор: Заславский А.А.

В шестиугольнике ABCDEF AB = BC, CD = DE, EF = FA и ∠A = ∠C = ∠E.
Докажите, что главные диагонали шестиугольника пересекаются в одной точке.

Решение

Докажите, что многочлен a³(b² – c²) + b³(c² – a²) + c³(a² – b²) делится на (b – c)(c – a)(a – b).

Решение

Задача 116012

Задача 116014

Задача 116740

Задача 31307

Задача 60987